感谢澄清！让我更详细地解释原来代码中的 torch.bmm(coord_diff, coord_diff.transpose(-1, -2)) 与后续改进后的实现之间的区别。

原始代码的含义

coord_diff = coord[row] - coord[col]  # [n_edge, 14, 3]

radial = torch.bmm(coord_diff, coord_diff.transpose(-1, -2))  # [n_edge, 14, 14]

1. coord_diff = coord[row] - coord[col]
   这行代码表示的是对每条边上的两个节点（由 row 和 col 指定的节点对）的坐标进行差值计算。coord_diff 的形状是 [n_edge, n_channel, d]，也就是 [n_edge, 14, 3]，其中：

   • n_edge: 边的数量（图中边的数目）。
   • n_channel = 14: 每个节点有14个通道。
   • d = 3: 表示每个节点的坐标是3维的 (x, y, z)。

2. torch.bmm(coord_diff, coord_diff.transpose(-1, -2))
   这行代码使用了批量矩阵乘法（torch.bmm）。具体含义如下：

   • coord_diff 是形状 [n_edge, 14, 3] 的张量，表示边的两个节点之间在14个通道上的坐标差异。
   • coord_diff.transpose(-1, -2) 将 coord_diff 的最后两个维度 3 和 14 交换，得到形状 [n_edge, 3, 14]。

   然后使用 torch.bmm 进行批量矩阵乘法，计算每条边的14个通道在3维坐标上的自相关性，结果是一个形状为 [n_edge, 14, 14] 的矩阵，表示每条边的两个节点在14个通道上相互间的几何关系。

计算方式的细节

1. 原始计算方式的输出：

   • [n_edge, 14, 14] 代表每条边上两个节点在14个通道上的内积（通道与通道之间的关系），它实际上捕捉了节点间不同通道的几何差异。这个矩阵表示14个通道之间的交互关系，反映了边上节点之间的几何关系。

2. torch.bmm 的作用：

   • torch.bmm 是一种批量矩阵乘法，用于在每个边上计算两个节点的坐标差异的矩阵乘积。
   • coord_diff 和其转置矩阵相乘，得到每个通道与其他通道之间的相互影响，形成了 [n_edge, 14, 14] 的矩阵。这种方式可以捕捉到每个通道在3维空间上的内在几何关系。

改进方案

如果你想要将 coord_diff 的维度调整为 [n_edge, 14, 14, 3] 以获得更细致的通道之间的交互，计算会更加复杂。举例来说，可以使用 torch.einsum 来代替 torch.bmm，使得计算更灵活。

例如，改进版：

coord_diff1 = coord[row].unsqueeze(2) - coord[col].unsqueeze(1)  # [n_edge, 14, 14, 3]

# 使用 einsum 来计算每个通道之间的交互关系
radial = torch.einsum('eijc,eikc->eij', coord_diff1, coord_diff1)  # [n_edge, 14, 14]

• 通过 unsqueeze 操作，将每个节点的通道与其他通道分别进行比较，生成 [n_edge, 14, 14, 3] 的张量。
• 使用 torch.einsum 将第三个维度（3）进行元素乘积，生成最终的 radial，它是 [n_edge, 14, 14] 的张量，表示通道与通道之间的交互信息。

总结对比

1. 原始方式：

   • 通过 torch.bmm 进行通道与通道之间的内积，结果是 [n_edge, 14, 14]，它计算的是每条边的两个节点在14个通道上的几何差异。
   • 每个通道的几何差异是通过节点坐标差异的内积计算得到的，这种方式简单直接。

2. 改进方式：

   • 通过 unsqueeze 和 einsum，引入了更加细致的通道之间的比较，可以捕捉通道间的复杂交互关系。
   • torch.einsum 允许在通道间更加灵活地计算相互影响，生成一个同样是 [n_edge, 14, 14] 的矩阵，但其计算方式更加灵活，结果更为细致。

选择哪种方式取决于你希望捕捉的几何关系的复杂度。如果你只关心简单的通道几何差异，原始的 torch.bmm 足够。如果你希望捕捉不同通道之间的更复杂的交互关系，可以采用 einsum 方案。

不同的计算方式，结果不同，意义类似

你提到“计算的答案不一样”，这表明虽然 torch.bmm 和 torch.einsum 的计算方式在逻辑上类似，但它们得出的结果不同。以下是造成结果不同的几个可能原因：

1. 操作顺序不同

torch.bmm 和 torch.einsum 的计算逻辑不同，它们对矩阵维度的处理方式存在差异：

• torch.bmm：在原来的方法中，coord_diff 是一个形状为 [n_edge, 14, 3] 的张量。torch.bmm 会进行批量矩阵乘法，它的作用是将 coord_diff 与 coord_diff 的转置矩阵相乘，从而得到每个边的 [14, 14] 的矩阵。这个操作只涉及到 14 个通道之间的差异。

  • torch.bmm(coord_diff, coord_diff.transpose(-1, -2)) 实际上是在 14 × 3 的矩阵与其 3 × 14 的转置矩阵之间做矩阵乘法，结果是 [n_edge, 14, 14]，表示每个通道之间的相互作用。

• torch.einsum：在新的方法中，coord_diff1 是 [n_edge, 14, 14, 3] 的张量，这意味着每条边的两个节点之间的所有通道组合都被计算。einsum 操作 einsum('eijc,eikc->eij', coord_diff1, coord_diff1) 是在坐标维度（3）上进行逐元素乘积并求和，结果是 [n_edge, 14, 14]。

这意味着，虽然两种方法计算的最终结果维度相同（都是 [n_edge, 14, 14]），但计算过程不同，导致答案不一样。einsum 会计算每对通道之间的差异，而 bmm 只是计算每个通道自身在坐标维度上的差异。因此，结果虽然形状相同，但具体数值不同。

2. 差异化的几何意义

两种方法在表达几何关系上有微妙的不同：

• torch.bmm：只处理两个节点的每个通道在 3 维空间上的差异。它不考虑不同通道之间的交互关系。
• torch.einsum：不仅处理每个通道之间的差异，还处理通道之间的交互。具体而言，einsum 会计算不同通道组合下的差异，这使得计算结果更加细致。

3. unsqueeze 引入的维度差异

在 einsum 的实现中，你通过 unsqueeze 操作将 coord_diff1 的维度扩展为 [n_edge, 14, 14, 3]，这使得每对通道的组合都被考虑到了。相比之下，原始方法中的 bmm 操作只在 [n_edge, 14, 3] 上进行批量矩阵乘法，没有考虑通道之间的交互。

因此，torch.bmm 的计算结果反映的是每个通道的几何差异，而 einsum 的结果则反映了所有通道之间的几何交互差异。这一点是导致两种方法结果不同的核心原因。

4. 矩阵乘法与逐元素乘积的差异

torch.bmm 实际上是标准的矩阵乘法，两个矩阵的乘积通过线性代数规则进行计算。而 einsum 的 eijc, eikc -> eij 操作则是逐元素相乘并在最后一维（坐标维度）上求和。虽然它们都最终输出一个 [n_edge, 14, 14] 的矩阵，但计算过程的核心不同。

• torch.bmm：是矩阵乘法，将 coord_diff 视为 [14, 3] 和 [3, 14] 的矩阵，进行矩阵乘积。
• einsum：逐元素地对每对通道差异进行点积（沿坐标维度求和），计算每个通道组合之间的几何差异。

因此，torch.bmm 和 torch.einsum 处理的方式不同，导致了最终结果数值的不同。

如何理解这两种方式的区别

• torch.bmm 只处理每个通道自身的坐标差异：你可以理解为，它计算的是每个节点的某个通道的几何差异，忽略了通道之间的交互。
• torch.einsum 处理所有通道之间的几何差异：这种方式更细致，因为它不仅考虑了每个通道的差异，还考虑了通道与通道之间的交互。

总结

• 相同点：两种方法计算的目的是捕捉节点之间的几何差异。
• 不同点：计算方法不同。torch.bmm 只是在每个通道内计算坐标差异，而 torch.einsum 会考虑每对通道的交互，导致计算结果不同。

如果你只需要计算每个通道的几何差异，torch.bmm 可能是合适的。如果你需要捕捉更复杂的通道间交互，torch.einsum 则提供了更细致的结果。

好的！我们假设 coord_diff1 的形状为 [2, 2, 2, 3]，具体来说，维度含义如下：

• 2（第1维度）：表示有两条边（n_edge=2）。
• 2（第2维度）：表示第一个节点的通道数量（i=2 通道）。
• 2（第3维度）：表示第二个节点的通道数量（j=2 通道）。
• 3（第4维度）：表示每个通道在 3 维空间中的坐标差异（c=3 表示 x、y、z 坐标）。

我们现在使用 torch.einsum('eijc,eikc->eij') 来进行计算，这个操作会在最后一个维度 c（坐标维度 x, y, z）上对两个张量进行点积，并输出一个 [2, 2, 2] 的张量。

示例数据

为了更直观地理解，让我们使用以下具体的示例数据：

coord_diff1 = torch.tensor([
    # 第 1 条边的坐标差异 [2, 2, 3]
    [[[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]],  # i=0, j=0,1
     [[7.0, 8.0, 9.0], [10.0, 11.0, 12.0]]],  # i=1, j=0,1

    # 第 2 条边的坐标差异 [2, 2, 3]
    [[[0.5, 1.0, 1.5], [2.0, 2.5, 3.0]],  # i=0, j=0,1
     [[3.5, 4.0, 4.5], [5.0, 5.5, 6.0]]],  # i=1, j=0,1
])

在这个例子中：

• 第一条边 coord_diff1[0] 是形状 [2, 2, 3] 的张量，表示第一个边上两个节点的 2 个通道和每个通道在 3 维空间中的差异。
• 第二条边 coord_diff1[1] 也是形状 [2, 2, 3] 的张量，表示第二条边的两个节点之间的差异。

逐步计算

我们现在使用 torch.einsum('eijc,eikc->eij', coord_diff1, coord_diff1) 计算结果。

• eijc：代表 coord_diff1[e, i, j, c]，表示第 e 条边上，第一个节点的第 i 通道和第二个节点的第 j 通道在 c 维度（x, y, z）上的坐标差异。
• eikc：代表 coord_diff1[e, i, k, c]，表示第 e 条边上，第一个节点的第 i 通道和第二个节点的第 k 通道在 c 维度（x, y, z）上的坐标差异。

einsum('eijc,eikc->eij') 表示在 c 维度（x, y, z）上进行逐元素相乘并累加，得到一个 [2, 2, 2] 的张量。

1. 计算第 1 条边（e=0）

第 1 条边上，i=0，j=0 和 j=1 之间的计算如下：

• coord_diff1[0, 0, 0, :] = [1.0, 2.0, 3.0] 与 coord_diff1[0, 0, 0, :] = [1.0, 2.0, 3.0]

  计算点积：
  [
  1.0 \times 1.0 + 2.0 \times 2.0 + 3.0 \times 3.0 = 1 + 4 + 9 = 14
  ]

• coord_diff1[0, 0, 0, :] = [1.0, 2.0, 3.0] 与 coord_diff1[0, 0, 1, :] = [4.0, 5.0, 6.0]

  计算点积：
  [
  1.0 \times 4.0 + 2.0 \times 5.0 + 3.0 \times 6.0 = 4 + 10 + 18 = 32
  ]

• coord_diff1[0, 1, 0, :] = [7.0, 8.0, 9.0] 与 coord_diff1[0, 1, 0, :] = [7.0, 8.0, 9.0]

  计算点积：
  [
  7.0 \times 7.0 + 8.0 \times 8.0 + 9.0 \times 9.0 = 49 + 64 + 81 = 194
  ]

• coord_diff1[0, 1, 0, :] = [7.0, 8.0, 9.0] 与 coord_diff1[0, 1, 1, :] = [10.0, 11.0, 12.0]

  计算点积：
  [
  7.0 \times 10.0 + 8.0 \times 11.0 + 9.0 \times 12.0 = 70 + 88 + 108 = 266
  ]

第 1 条边上的结果：

# 第 1 条边上的 2x2 点积矩阵：
[[14, 32],
 [194, 266]]

2. 计算第 2 条边（e=1）

第 2 条边上，i=0，j=0 和 j=1 之间的计算如下：

• coord_diff1[1, 0, 0, :] = [0.5, 1.0, 1.5] 与 coord_diff1[1, 0, 0, :] = [0.5, 1.0, 1.5]

  计算点积：
  [
  0.5 \times 0.5 + 1.0 \times 1.0 + 1.5 \times 1.5 = 0.25 + 1 + 2.25 = 3.5
  ]

• coord_diff1[1, 0, 0, :] = [0.5, 1.0, 1.5] 与 coord_diff1[1, 0, 1, :] = [2.0, 2.5, 3.0]

  计算点积：
  [
  0.5 \times 2.0 + 1.0 \times 2.5 + 1.5 \times 3.0 = 1.0 + 2.5 + 4.5 = 8.0
  ]

• coord_diff1[1, 1, 0, :] = [3.5, 4.0, 4.5] 与 coord_diff1[1, 1, 0, :] = [3.5, 4.0, 4.5]

  计算点积：
  [
  3.5 \times 3.5 + 4.0 \times 4.0 + 4.5 \times 4.5 = 12.25 + 16 + 20.25 = 48.5
  ]

• coord_diff1[1, 1, 0, :] = [3.5, 4.0, 4.5] 与 coord_diff1[1, 1, 1, :] = [5.0, 5.5, 6.0]

  计算点积：
  [
  3.5 \times 5.0 + 4.0 \times 5.5 + 4.5 \times 6.0 = 17.5 + 22.0 + 27.0 = 66.5
  ]

第 2 条边上的结果：

# 第 2 条边上的 2x2 点积矩阵：
[[3.5, 8.0],
 [48.5, 66.5]]

最终输出

`torch.einsum('eijc,eikc->eij', coord_diff

1, coord_diff1)` 计算的结果是：

# 总结果：
tensor([
    [[14.0, 32.0],
     [194.0, 266.0]],

    [[3.5, 8.0],
     [48.5, 66.5]]
])

• 第一个 [2, 2] 矩阵表示第 1 条边的通道之间的几何差异。
• 第二个 [2, 2] 矩阵表示第 2 条边的通道之间的几何差异。

结论

• 每条边上都有一个 [2, 2] 的矩阵，表示节点之间各个通道的几何关系。
• 通过 torch.einsum 操作，我们逐个通道组合在 (x, y, z) 坐标维度上进行点积，生成通道间的几何相似性矩阵。

希望通过这个具体例子，能够帮助你更好地理解 torch.einsum 的计算过程！如果还有其他问题，请告诉我！