4.1 认识神经网络

• 必要性
  • 当特征值只有两个时，我们仍可以用之前学过的算法去解决
  • 
  • 但当特征值很多，且含有很多个多次多项式时，用之前的算法就很难解决了
    例子 ：图像感知 Recogonition image
    计算机识别汽车是靠像素点的亮度值
  •   

神经网络做法：

4.2 如何在神经网络上推理

4.2.1 神经网络定义

定义一个神经网络如下：

计算第l层第j个激活值的公式：

注意符号的含义 w2_1 上标2代表layer 2 下标 1代表第一个神经元

4.2.2 构建：前向传播 forward propagation（使用TensorFlow实现）

前向传播是从输入层开始，通过各层计算直至输出层，从而得出预测结果。

• eg1：手写识别0、1
  •   
  • 每次层计算， 从左往右计算，要传播神经元的激活值
  • 
• eg2：烤咖啡的好坏
  • 
  • python实现前向传播
  • 
  • 自定义dense密集函数：输入前一层的激活，给定当前层的参数，它会输出下一层激活值 自定义sequential函数
其中：W大写在线性代数中代表矩阵
• 拓展： AGI 通用人工智能
  • 

4.3 课后作业

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from scipy.io import loadmat
from scipy.optimize import minimize

# 加载数据集，这里的数据为matlab格式，所有要用SciPy.io的loadmat函数
def load_data(path):
    data = loadmat(path)
    X = data['X']
    y = data['y']
    return X, y

X, y = load_data('ex3data1.mat')
print(np.unique(y))  # 找到数组 y 中的所有唯一元素，并返回一个已排序的数组
# [ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10]
X.shape, y.shape
# ((5000, 400), (5000, 1))
# 其中有5000个训练样本，每个样本是20 * 20
# 像素的数字的灰度图像。每个像素代表一个浮点数，表示该位置的灰度强度。20×20的像素网格被展开成一个400维的向量。
# 在我们的数据矩阵X中，每一个样本都变成了一行，这给了我们一个5000×400矩阵X，每一行都是一个手写数字图像的训练样本。

# 第一个任务是将我们的逻辑回归实现修改为完全向量化（即没有“for”循环）。
# 这是因为向量化代码除了简洁外，还能够利用线性代数优化，并且通常比迭代代码快得多。
# Visualizing the data
def plot_an_image(X):
    """
    随机打印一个数字
    """
    pick_one = np.random.randint(0, 5000)  # 从0到5000中随机选取一个整数
    image = X[pick_one, :]  # 从数据集中选取这个随机索引对应的图像数据
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(1, 1))
    # 将选取的图像数据重新塑形为20x20的矩阵，并使用灰度反转的颜色显示
    ax.matshow(image.reshape((20, 20)), cmap='gray_r')  # matshow用于以矩阵形式显示二维数组
    plt.xticks([])
    plt.yticks([])  # 去除x轴和y轴的刻度，使图像显示更美观。
    plt.show()
    print('this should be {}'.format(y[pick_one]))

def plot_100_image(X):
    """
    随机画100个数字
    """
    sample_idx = np.random.choice(np.arange(X.shape[0]), 100)
    sample_images = X[sample_idx, :]  # (100, 400)
    # 创建一个10x10的子图网格，共享x轴和y轴的刻度和标签，图像大小为8x8英寸
    fig, ax_array = plt.subplots(nrows=10, ncols=10, sharey=True, sharex=True, figsize=(8, 8))
    for row in range(10):
        for column in range(10):
            ax_array[row, column].matshow(sample_images[10 * row + column].reshape((20, 20)), cmap='gray_r')
    plt.xticks([])
    plt.yticks([])
    plt.show()

# Vectorizing Logistic Regression
    # 我们将使用多个one-vs-all(一对多)logistic回归模型来构建一个多类分类器。由于有10个类，需要训练10个独立的分类器。
    # 为了提高训练效率，重要的是向量化。
# Vectorizing the cost function
def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def regularized_cost(theta, X, y, l):
    """
        don't penalize theta_0
        args:
            X: feature matrix, (m, n+1) # 插入了x0=1
            y: target vector, (m, )
            l(正则化常数λ): lambda constant for regularization
    """
    thetaReg = theta[1:]
    first = (-y*np.log(sigmoid(X@theta))) + (y-1)*np.log(1-sigmoid(X@theta))
    reg = (thetaReg@thetaReg)*l / (2*len(X))
    return np.mean(first) + reg

# Vectorizing the gradient
def regularized_gradient(theta, X, y, l):
    """
        don't penalize theta_0
        args:
            l: lambda constant
        return:
            a vector of gradient
    """
    thetaReg = theta[1:]
    first = (1 / len(X)) * X.T @ (sigmoid(X @ theta) - y)
    # 这里人为插入一维0，使得对theta_0不惩罚，方便计算
    reg = np.concatenate([np.array([0]), (l / len(X)) * thetaReg])  # 使用np.concatenate将上面两个数组连接在一起。
    return first + reg

# One-vs-all Classification
# 这部分我们将实现一对多分类通过训练多个正则化logistic回归分类器，每个对应数据集中K类中的一个。
# 对于这个任务，我们有10个可能的类，并且由于logistic回归只能一次在2个类之间进行分类，每个分类器在“类别i”和“不是i”之间决定。
# 我们将把分类器训练包含在一个函数中，该函数计算10个分类器中的每个分类器的最终权重，并将权重返回shape为(k,(n + 1))数组，其中n是参数数量。
def one_vs_all(X, y, l, K):
    """generalized logistic regression
        args:
            X: feature matrix, (m, n+1) # with incercept x0=1
            y: target vector, (m, )
            l: lambda constant for regularization λ控制正则化强度
            K: numbel of labels
        return: trained parameters
    """
    all_theta = np.zeros((K, X.shape[1]))  # (10, 401)
    for i in range(1, K+1):
        theta = np.zeros(X.shape[1])
        y_i = np.array([1 if label == i else 0 for label in y])

        ret = minimize(fun=regularized_cost, x0=theta, args=(X, y_i, l), method='TNC',
                       jac=regularized_gradient, options={'disp': True})  # 设置disp为True以显示优化过程。
        all_theta[i - 1, :] = ret.x
    return all_theta


# 这里需要注意的几点：首先，我们为X添加了一列常数项1 ，以计算截距项（常数项）。
# 其次，我们将y从类标签转换为每个分类器的二进制值（要么是类i，要么不是类i）。 最后，我们使用SciPy的较新优化API来最小化每个分类器的代价函数。
# 如果指定的话，API将采用目标函数，初始参数集，优化方法和jacobian（渐变）函数。 然后将优化程序找到的参数分配给参数数组。

# 实现向量化代码的一个更具挑战性的部分是正确地写入所有的矩阵，保证维度正确。
def predict_all(X, all_theta):
    # 计算每个样本在每个类别上的概率
    h = sigmoid(X @ all_theta.T)  # 注意的这里的all_theta需要转置
    # 创建一个数组，包含每个样本概率最大的类别的索引
    # axis=1,返回沿着每行或水平方向最大值的索引
    h_argmax = np.argmax(h, axis=1)
    # 将索引值从0开始的数组转换为从1开始的数组。
    h_argmax = h_argmax + 1
    return h_argmax
# 这里的h共5000行，10列，每行代表一个样本，每列是预测对应数字的概率。我们取概率最大对应的index加1就是我们分类器最终预测出来的类别。
# 返回的h_argmax是一个array，包含5000个样本对应的预测值。
raw_X, raw_y = load_data('ex3data1.mat')
X = np.insert(raw_X, 0, 1, axis=1)  # (5000, 401)
y = raw_y.flatten()  # 这里消除了一个维度，将其转换为一维数组，方便后面的计算 or .reshape(-1) （5000，）

all_theta = one_vs_all(X, y, 1, 10)
all_theta  # 每一行是一个分类器的一组参数
y_pred = predict_all(X, all_theta)
accuracy = np.mean(y_pred == y)
print('accuracy = {0}%'.format(accuracy * 100))

# Neural Networks
# 上面使用了多类logistic回归，然而logistic回归不能形成更复杂的假设，因为它只是一个线性分类器。
# 接下来我们用神经网络来尝试下，神经网络可以实现非常复杂的非线性的模型。我们将利用已经训练好了的权重进行预测。
def load_weight(path):
    data = loadmat(path)
    return data['Theta1'], data['Theta2']

theta1, theta2 = load_weight('ex3weights.mat')
# theta1.shape, theta2.shape
# 因此在数据加载函数中，原始数据做了转置，然而，转置的数据与给定的参数不兼容，因为这些参数是由原始数据训练的。
# 所以为了应用给定的参数，需要使用原始数据（不转置）
X, y = load_data('ex3data1.mat')
y = y.flatten()
# 向特征矩阵 X 的每一行开头插入一个值为1的列
X = np.insert(X, 0, values=np.ones(X.shape[0]), axis=1)
X.shape, y.shape

a1 = X
z2 = a1 @ theta1.T
# z2.shape
z2 = np.insert(z2, 0, 1, axis=1)
a2 = sigmoid(z2)
# a2.shape
z3 = a2 @ theta2.T
# z3.shape
a3 = sigmoid(z3)
# a3.shape
y_pred = np.argmax(a3, axis=1) + 1
accuracy = np.mean(y_pred == y)
print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy * 100))  # accuracy = 97.52%

4.4 训练神经网络

4.4.1 模型训练细节

• eg：对于01手写分类问题
  • 
  • 对于逻辑回归、二分类问题用Binary Cross Entropy二元交叉熵损失函数
  • 
  • 使用二元交叉熵作为损失函数时，我们通常使用以下公式来计算单个样本的损失：
  • loss = -[ylog(p) + (1-y)log[(1-p)]
  • 其中，y是真实标签（0或1），p是预测值（0到之间的概率值）。这个公式表示当真实标签为1时，我们希望预测值越接近1，此时损失越小，等于-log(p);
  • 当真实标签为0时，我们希望预测值p越接近0，此时损失也越小，等于-log(1-p)。
  • 

4.4.2 如何选择激活函数

• 三种基础激活函数
  • 
• 对于输出层激活函数的选择，取决于输出的y的取值范围
  • 
• hidden layer 隐藏层
  • 除非是二分类问题用sigmoid，一般默认用relu，不能用线性激活函数，否则不能拟合，就相当于一个线性回归了
  • relu计算很快，并且只有右边扁平flat，而sigmoid有两处flat，会影响gd的速度

4.5 多分类问题

4.5.1 softmax 回归算法

• Softmax 回归（Softmax Regression）是一种广义的逻辑回归，用于多分类问题。它可以看作是二分类逻辑回归的扩展，能够同时处理多个类别。Softmax 回归通常用于神经网络的输出层，将输出值转换为概率分布。
• Softmax 回归算法的模型（参考）
  • 
  • 
• 输出层计算方式
  • 
  • 输出层也叫作softmax层，输出的K维向量a，中的每一个分量都与z1-z10有关系，这个和之前学的不太一样

4.5.2 多标签分类问题

输出值y是一个向量，而不是一个数，不能用softmax，因为比如既有人又有车（每个样本可以有多个类别标签）无法处理，对每个分量用sigmoid

4.6 高级优化方法

4.6.1 Adam 算法 自适应距估计 ——自动调节学习率大小

需要一个默认的学习率，建议可以选一个大点，一个小点的多试

4.7 其他网络层的类型

• dense layer 密集层就是全连接层一种隐藏层，其中的每个节点均与下一个隐藏层中的每个节点相连。
• convolutional layer 卷积层
  例子：心电图识别，判断是否有心脏病，二分类
  • 
  • 需要考虑的参数：
单个神经元应该观 察的输入窗口有多大？
一层应该有几个神经元？