Number Theory: The set of Real实数系构造：实数公理化(R, +, ×, ≥)之Field/Order/Continuity + Dedkind分割
Number Theory: The set of Real实数系构造
实数公理化(R, +, ×, ≥)之Field/Order/Continuity
F(域)：定义 +, ×, ≥：
+: 加法的 交换律、结合律、0单位元、负元
×: 乘法的 交换律、结合律、1单位元、逆元、乘法×对加法+的分配律
O(序≥):
全序性: x ≥ y OR y ≤ x 必有其一(或x>y, x==y, x<y)
对称: x ≥ y AND y ≤ x 则有 x = y
传递性: x ≥ y AND y ≥ z 则有 x ≥ z
加法+的保序性: x ≥ 0 AND y ≥ 0 则有 x+y ≥ 0
乘法×的保序性: x ≥ 0 AND y ≥ 0 则有 x×y ≥ 0
C(连续性):
- Archimedes阿基米德性: giving any Real numbers p and q, existing one of Integer number n, let: n * p > q.
- 同构唯一性: (R, +，×，≥): 假设分别以两种方法构造出 Real实数集 X 与 Y, 则: X, Y 与 R实数集同构，且 X, Y 与 R 完全相同。
Dedkind分割 在Q有理数集上构造出 R实数集:
首先是在 Q(Rational Number) 有理数集上，以分割的方式构造出 R(Real Number):
以下三条:
将 Q 分割为 L(下集) 与 U(上集) 两部分：
- L 与 U 都非空集, 且 Q = L ∪ U;
- L 的任意元数 小于 U 的任意元数;
- L 没有最大元数.
则此种集合划分为 Dedkind分割 , 一次分割得一个 实数(有理数或无理数) ，所有的分割集合，即是 R 实数集。
此时 U 可能有两种情况, 确定分割点 QP (Quantum Point)：
- 没有最小元数，此时为 无理分割；分割点_QP_是一个无理数点。
- 有最小元数，此时为 有理分割；分割点_QP_是一有理数点，即_U_的最小元数。
可将分割形象比喻为：对 Q 有理数集,
用量子刀(Quantum Knife, 厚度 只有 可测度的最小厚度, 即一个数(点)厚的刀) 切割一刀,
将有： L(下集), QP(分割点, Quantum Point), U(上集)三部分:
- L 和 U 都是非空集合，Q = L U {QP} U U;
- L 的任意元，都小于 U 的任意元;
- L 无最大值，U 无最小值, 两者都可以用 Epsilon-Delta 语言描述及证明;
- QP 是实数(可能是无理数 或 有理数), 所有可能的 QP 构成 R 实数集.
Dedkind分割构造出的实数集上定义“O(Order序)”:
定义实数集上的Order序：
集合序 定义 对 X 和 Y 两个集合，定义 X ≥ Y 为 Y 是 X 的子集;
集合序 与 数序 的一致性: 两次 Dedkind分割 确定两个量子点 QP1 与 QP2,