信号功率的定义

XUE / 2023-07-28 / 原文

1、信号功率的引入

首先以电路功率为例，引入信号功率的定义：

例如,若$v(t)$和$i(t)$分别是阻值为$R$的某一电阻上的电压和电流,那么其瞬时功率就是$p(t)=v(t) i(t)=\frac{1}{R} v^2(t) $

在时间间隔$t_1\leqslant t \leqslant t_2$内消耗的总能量就是$\int_{t_1}^{t_2} p(t) \mathrm{d} t=\int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{R} v^2(t) \mathrm{d} t $

其平均功率(average power)为$\frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} p(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{R} v^2(t) \mathrm{d} t$

2、定义信号能量与功率

对于一个连续时间信号$x(t)$和离散时间信号$x[n]$在无穷区间内的总能量定义为

\[E_{\infty} \triangleq \lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-T}^T|x(t)|^2\mathrm{~d} t=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\mathrm{~d} t\\ E_{\infty} \triangleq \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N}^{+N}|x[n]|^2=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2 \]

其中$|x|$记为$x$ (可能为复数)的模。

则他们的功率可以定义为：

\[P_{\infty} \triangleq \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T|x(t)|^2\mathrm{~d} t\\ P_{\infty} \triangleq \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{+N}|x[n]|^2 \]

注意：此处涉及的“功率”和“能量”与上式中的量是否真正关联了物理量无关。

3、信号分类

利用信号的能量和功率可以将信号分为三种：

一是信号总能量有限,即$E_{\infty}<\infty$ ，这种信号的平均功率必须为零（$P_{\infty}=0$）；

因为在连续时间情况下，$P_{\infty}=\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{E_{\infty}}{2T}=0
$

例1：信号在$0\leqslant t \leqslant1$内其值为1,而在此区间以外其值均为0就是有限能量信号的另一个例子,这时$E_{\infty}=1, P_{\infty}=0$ 。

二是信号平均功率有限，即$P_{\infty}<\infty$，此时有$E_{\infty}=\infty$ ；

因为如果单位时间内有某一个非零的平均能量(也就是非零功率),那么在无限区间内积分或求和就必然得出无限大的能量值。

例2,常数信号$x[n]=4$就具有无限能量,但是平均功率$P_{\infty}=16$

三是信号的总能量和平均功率均不是有限。

例3：信号$x(t)=t$

4、帕塞瓦尔定理

1）连续时间周期信号：

此处涉及傅里叶级数的概念，存在一个基本假设：$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \mathrm{e}^{j k \omega_0t}$，即信号可以看作是由众多不同频率的谐波合成的。设$a_k$是$x(t)$的傅里叶级数系数, $T$是该信号的周期。则有：

\[\frac{1}{T} \int_T|x(t)|^2\mathrm{~d} t=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\left|a_k\right|^2 \]

上式的左边是周期信号$x(t)$在一个周期内的平均功率(也就是单位时间内的能量),而同时有：

\[\frac{1}{T} \int_T\left|a_k \mathrm{e}^{\mathrm{j} k \omega_0t}\right|^2\mathrm{~d} t=\frac{1}{T} \int_T\left|a_k\right|^2\mathrm{~d} t=\left|a_k\right|^2 \]

所以$\left|a_k\right|^2$就是$x(t)$中第$k$次谐波的平均功率。于是,帕斯瓦尔定理在此处即可理解为：一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和。

2)连续时间信号（总能量有限）：

若$x(i)$和$X(jw)$是一对傅里叶变换,则帕斯瓦尔定理可表述为：

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\mathrm{~d} t=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}|X(\mathrm{j} \omega)|^2\mathrm{~d} \omega \]

上式的左边是信号$x(t)$的总能量。帕斯瓦尔定理指出,这个总能量既可以按每单位时间内的能量$\left(|x(t)|^2\right)$在整个时间内积分计算出来,也可以按每单位频率内的能量$\left(|X(\mathrm{j} \omega)|^2/2\pi\right)$在整个频率范围内积分而得到。因此, $|X(j \omega)|^2$常称为信号$x(t)$的能量谱密度(energy-density spectrum)。

推导：该式直接用傅里叶变换就能得出,

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\mathrm{~d} t & =\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) x^*(t) \mathrm{d} t \\ & =\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(\mathrm{j} \omega) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} \omega\right] \mathrm{d} t \end{aligned} \]
改变一下积分次序，由于$X(\mathrm{j} \omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t $，则有：

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\mathrm{~d} t=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(\mathrm{j} \omega)\left[\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t\right] \mathrm{d} \omega\\ \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\mathrm{~d} t=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}|X(\mathrm{j} \omega)|^2\mathrm{~d} \omega$ \]

注意：对于连续信号以上两种帕塞瓦尔定理的定义是直接对应的，即一个周期信号的平均功率等于它的各次谐波分量的平均功率之和,而这些谐波分量的平均功率就等于傅里叶级数系数的模平方。

3)离散时间周期信号

设$a_k$是$x[n]$的傅里叶级数系数, $N$是周期，则有：

\[\frac{1}{N} \sum_{n=\langle N\rangle}|x[n]|^2=\sum_{k=\langle N\rangle}\left|a_k\right|^2 \]

和连续时间情况相同,上式左边是$x[n]$在一个周期内的平均功率,而$\left|a_k\right|^2$是$x[n]$的第$k$次谐波的平均功率。据此,帕斯瓦尔定理再一次表明:一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的平均功率之和。当然,在离散时间中只有$N$个不同的谐波分量。同时,由于$a_k$也是周期的,周期为$N$,所以上式右边的求和可以在任何$k$的$N$个相继值上进行。

4)离散时间信号（总能量有限）：

若$x[n]$和$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)$是一对傅里叶变换，则

\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^2\mathrm{~d} \omega \]

上式左边的量就是信号$x[n]$中的总能量,帕斯瓦尔定理表明：这个总能量可以在离散时间频率的$2\pi$区间上用积分每单位频率上的能量$|\left.X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^2/2\pi$来获得。与连续时间情况类似, $\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^2$称为信号$x[n]$的能密度谱(energydensity spectrum)。

注意：对于离散信号以上两种帕塞瓦尔定理的定义也是直接对应的，即一个周期信号的平均功率等于它的各次谐波分量的平均功率之和,而这些谐波分量的平均功率就等于傅里叶级数系数的模平方。