考研高数笔记

CTing / 2023-07-26 / 原文

基于《张宇30讲》

1. 高数预备知识

1.1 函数概念

反函数

\(f[f^{-1}(x)]=x\)
严格单调函数必有反函数，有反函数的不一定是单调函数
形如 \(f[f(x)]\) 的复合函数分析方法：1.广义化带入；2. 画图分段分析

有界性

必须指明区间

单调性

注意定义法的判别形式：
\(f(x)\)是单调增函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\)
\(f(x)\)是单调减函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0\)
\(f(x)\)是单调不减函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\geq0\)
\(f(x)\)是单调不增函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\leq0\)

奇偶性

偶函数\(y=f(x)\)关于\(y\) 轴对称，且当 \(f'(0)\) 存在时，必有 \(f'(0)=0\)
\(y=f(x)\) 关于直线 \(x=T\) 对称的充分条件是 \(f(x)=f(2T-x)\) 或 \(f(x+T)=f(T-x)\)

四性综合

奇函数求导变偶函数，偶函数求导变奇函数。
连续奇函数的一切原函数都是偶函数，连续偶函数的原函数中仅有 \(\int_0^x f(t)dt\)一个奇函数
连续函数 \(f(x)\) 以 \(T\) 为周期且 \(\int_0^T f(x)dx=0\)，则 \(f(x)\) 的一切原函数也以 \(T\) 为周期
若 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导且 \(f'(x)\) 有界，则 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内有界

1.2 函数图像

根据幂函数单调性简化函数分析方法

原理：\(x>0\) 时，\(y=x\) 与 \(y=\sqrt x, y=\sqrt[3] x,y=lnx\) 有相同单调性，与 \(y=\frac1x\) 有相反单调性。
因此：
对于 \(\sqrt u\) 和 \(\sqrt[3]u\)，可直接用 \(u\) 来研究最值（直接去根号求导）
对于 \(|u|\)，可直接用 \(u^2\) 来研究最值
对于 \(u_1u_2u_3\)，用 \(lnu_1+lnu_2+lnu_3\) 来研究最值
对于 \(\frac1u\)，用 \(u\) 来研究最值（注意结论相反）！！