线性代数基础

Sky390 's Blog / 2023-04-27 / 原文

矩阵

矩阵是一种非常重要的数学对象，它通常由一个由数字排成的矩形阵列来定义。一个矩阵由若干行和若干列组成，被称为矩阵的行数和列数。一般情况下，矩阵的行数和列数分别用 \(n\) 和 \(m\) 表示。

矩阵中的每个元素都用一个下标表示，第 \(i\) 行第 \(j\) 列矩阵元素表示为 \(A_{i,j}\)，其中 \(i\) 和 \(j\) 分别表示该元素所在的行和列。矩阵中的元素可以是数字、变量或函数。

单位矩阵是指矩阵的主对角线上为 \(1\) 其他位置为 \(0\) 的矩阵，一般用 \(\mathbf{I}\) 表示。

\[\mathbf{I}=\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix} \]

单位矩阵性质：设有一个矩阵 \(\mathbf{A}\)，则有 \(\mathbf{I} \times \mathbf{A}=\mathbf{A}\)。

矩阵加法

设矩阵 \(A\)、\(B\) 的行数和列数相等，则它们的和记作 \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)，其中每个元素为 \(A_{i,j}+B_{i,j}\)。

矩阵乘法

矩阵乘法是一种在两个矩阵之间进行的运算，其中一个矩阵的列数需等于另一个矩阵的行数。假设有两个矩阵 \(\mathbf{A}_{n \times p}\) 和 \(\mathbf{B}_{p \times m}\)，它们可以被表示为：

\[\mathbf{A}=\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p}\\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p}\\\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,p}\\\end{bmatrix}\quad\mathbf{B}=\begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,m}\\b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,m}\\\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\b_{p,1} & b_{p,2} & \cdots & b_{p,m}\\\end{bmatrix} \]

矩阵乘积 \(\mathbf{C}_{n \times m}\) 是一个新的矩阵，它的元素 \(c_{i,j}\) 可以定义为：

\[c_{i,j} = \sum_{k=1}^p a_{i,k}b_{k,j} \]

上式中的 \(k\) 取遍所有可能的值，即 \(1 \leq k \leq p\)，并将乘积相加。因此，矩阵乘积的定义告诉我们，在将矩阵相乘之前，需要确保第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

矩阵乘法不满足交换律，即 \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} \neq \mathbf{B} \times \mathbf{A}\)，但它满足结合律，即 \(\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C}\)。