【笔记】矩阵

int-Hello-world / 2023-06-07 / 原文

矩阵基础

定义：

数学意义上有更加严谨的矩阵定义，这里不过多展开，如有需要还请自行查询。

由\(n\times m\)个数排成\(n\)行\(m\)列，第\(i\)行\(j\)列的数记为\(a_{i,j}\)。我们称这\(n \times m\)个数为矩阵\(A\)的元素，记作：

\[A=\begin{bmatrix} &a_{1,1} &a_{1,2} &... &a_{1,m} &\\ &a_{2,1} &... &... &a_{2,m} \\ &... &... &... &... \\ &... &... &... &... \\ &a_{n,1} &... &... &a_{n,m} \end{bmatrix} \]

两个或者两个以上的矩阵的行数和列数都相同，那么我们就说这两个或两个以上的矩阵是同型矩阵。

当且仅当矩阵\(A\)和矩阵B为同型矩阵，且满足任意\(a_{i,j}=b_{i,j}\)时，我们称矩阵\(A\)等于矩阵\(B\),记作\(A=B\)

基本运算

加法

只有两个同型矩阵才能相加。

若\(A\)和\(B\)为同型矩阵，\(A=a_{1,1},...,a_{n,m}\),\(B=b_{1,1},...,b_{n,m}\)

则\(A+B=a_{1,1}+b_{1,1},...a_{i,j}+b_{i,j},...a_{n,m}+b_{n,m}\)

例如：

\[\begin{bmatrix} &1 &2 &5 & \\ &3 &4 &6 \\ &9 &11 &13 \\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} &0 &14 &15 & \\ &13 &17 &16 \\ &19 &12 &18 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} &1+0 &2+14 &5+15 & \\ &3+13 &4+17 &6+16 \\ &9+19 &11+12 &13+18 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} &2 &16 &20 & \\ &16 &21 &22 \\ &28 &23 &31 \\ \end{bmatrix} \]

减法与加法同理。

乘法

矩阵与实数相乘：

定义矩阵\(A\)以及一个任意实数\(k\),则\(A\)与\(k\)的乘积为：

\[\begin{bmatrix} &a_{1,1} &... &a_{1,m} & \\ &... &... &... \\ &a_{n,1} &... &a_{n,m} \\ \end{bmatrix}\times k= \begin{bmatrix} &a_{1,1}\times k &... &a_{1,m}\times k & \\ &... &... &... \\ &a_{n,1}\times k &... &a_{n,m}\times k \\ \end{bmatrix} \]

再来看看矩阵之间的乘法

设矩阵\(A\)有\(n_A\)行，\(m_A\)列，矩阵\(B\)有\(n_B\)行，\(m_B\)列。

只有当\(m_A=n_B\)时，\(A\)和\(B\)才能相乘。

矩阵之间的乘积依然是矩阵,我们\(A\)和\(B\)的乘积为矩阵\(C\)。则矩阵\(C\)有\(n_A\)行,\(m_B\)列。

\[C_{i,j}=a_{i,1}\times b_{1,j}+a_{i,2}\times b_{2,j}+...+a_{i,n_A}\times b_{n_{A},\ j} =\sum_{r=1}^{n_A}a_{i,r}\times b_{r,j} \]

例如:

\[\begin{bmatrix} &1 &2 &3 & \\ &4 &5 &6 \\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} &7 &8 & \\ &9 &10 \\ &11 &12 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} &1\times 7 +2\times9+3\times11 &1\times 8+2\times10+3\times12 &\\ &4\times7+5\times9+6\times11 &4\times8+5\times10+6\times12 &\\ \end{bmatrix} \]

单位矩阵

在实数的运算中，我们规定\(1\)为实数的单位，\(1\)乘的任何实数的结果都为这个实数本身。

矩阵运算中，我们也有一个单位矩阵,单位矩阵乘任意矩阵的结果等于这个矩阵本身。

单位矩阵的主对角线值为\(1\),其余位置都为\(0\)。

一个\(3\times 3\)的单位矩阵：

\[\begin{bmatrix} &1 &0 &0 & \\ &0 &1 &0\\ &0 &0 &1\\ \end{bmatrix} \]

例：

\[\begin{bmatrix} &1 &0 &0 & \\ &0 &1 &0\\ &0 &0 &1\\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} &x_1 & \\ &x_2 &\\ &x_3 &\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} &1\times x_1+0\times x_2+0\times x_3 & \\ &0\times x_1+1\times x_2+0\times x_3&\\ &0\times x_1+0\times x_2+1\times x_3 &\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} &x_1 & \\ &x_2 &\\ &x_3 &\\ \end{bmatrix} \]