stack为什么叫做2-sheaf

spectral / 2023-05-03 / 原文

设\(\mathcal{C}\)是一个site，我们知道\(\mathcal{C}\)上的sheaf定义为满足下列条件的presheaf \(F\)：对于任意sieve \(R\hookrightarrow X\), 典范映射

\[\mathrm{Hom}(X,F)\to\mathrm{Hom}(R,F) \]

是双射. 其中右侧的Hom集合定义为presheaf范畴中的Hom，即\(\mathrm{PSh}(\mathcal{C})\)所有的箭头\(R\to F\).

现在考虑\(\mathcal{C}\)上的Fiber category，我们记作\(\mathrm{Fib}(\mathcal{C})\). 根据2-Yoneda引理，我们可以把presheaf范畴嵌入\(\mathrm{Fib}(\mathcal{C})\)：

\[\mathrm{PSh}(\mathcal{C})\hookrightarrow\mathrm{Fib}(\mathcal{C}). \]

我们一般把\(\mathcal{C}\)嵌入\(\mathrm{PSh}(\mathcal{C})\)中，所以现在有下列嵌入链：

\[\mathcal{C}\hookrightarrow\mathrm{PSh}(\mathcal{C})\hookrightarrow\mathrm{Fib}(\mathcal{C}). \]

由此我们可以把范畴\(\mathrm{Fib}(\mathcal{C})\)看作某种意义下的“2-presheaf”范畴。在这种想法下，我们来考虑如何推广sheaf的概念。对于任意\(\mathrm{Fib}(\mathcal{C})\)中的对象\(\mathcal{F}\)，类比上述sheaf定义，我们需要考虑以下映射：

\[\mathrm{Hom}_{\mathrm{Fib}(\mathcal{C})}(X,\mathcal{F})\to\mathrm{Hom}_{\mathrm{Fib}(\mathcal{C})}(R,\mathcal{F}). \]

然而需要注意\(\mathrm{Fib}(\mathcal{C})\)是一个2-范畴. 这意味着我们应该把上述映射换成Hom范畴之间的函子：

\[\alpha_\mathcal{F}:\mathcal{H}\textit{om}\hspace{2pt}_{\mathrm{Fib}(\mathcal{C})}(X,\mathcal{F})\to\mathcal{H}\textit{om}\hspace{2pt}_{\mathrm{Fib}(\mathcal{C})}(R,\mathcal{F}). \]

类似地，现在我们不应该考虑集合之间的双射，而应该要求上述函子是范畴等价. 我们回忆这意味着两个条件：

\(\alpha_\mathcal{F}\)在忠实满的，即它在Hom集上是双射.
\(\alpha_\mathcal{F}\)是本质满的，即右侧范畴中任意一个对象都同构于\(\alpha_\mathcal{F}\)的一个像.

以上两条性质给出了我们的“2-sheaf”的定义。读者可以验证条件(1)等价于\(\mathcal{F}\)是prestack，而条件(2)实际上在说\(\mathcal{F}\)的任意descent data都是effective的。故(1)和(2)合起来意味着\(\mathcal{F}\)是stack.