群论浅谈
1.群
1.1 群的定义
若集合 \(S \not=\varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\) 满足以下性质：
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封闭性：\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\)
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结合律：\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)
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单位元：\(\exists e\in S,e\cdot a=a\cdot e=a\)
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逆元：\(\forall a\in S,\exists b\in S,a\cdot b=b\cdot a=e\)，称 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)
则称 \((S,\cdot)\) 是一个群。（\(S\) 一定是非空的）
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交换群：满足交换律的群
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半群：满足封闭性和结合律（可能不是群）
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有限群：元素个数有限，元素的个数称为有限群的阶
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环：\((S,+,\cdot)\) 满足 \((S,+)\) 是交换群，\((S\setminus\{0\},\cdot)\) 是半群（其中 \(0\) 是 \((S,+)\) 的单位元）
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域：\((S,+,\cdot)\) 满足 \((S,+),(S\setminus\{0\},\cdot)\) 是交换群（其中 \(0\) 是 \((S,+)\) 的单位元）
1.2 群的基本性质
- 一个群的单位元唯一
证明：若有两个单位元 \(e_1,e_2\)，则 \(e_1=e_1e_2=e_2\)。
- 若 \(a\cdot x=e\)，我们称 \(a\) 是 \(x\) 的左逆元；若 \(x\cdot b=e\) 我们称 \(b\) 是 \(x\) 的右逆元
可以证明，在一个群中，左逆元和右逆元是一样的
证明：不妨设 \(c\cdot a=e\)，则 \(x\cdot a=(c\cdot a)\cdot (x\cdot a)=c\cdot(a\cdot x)\cdot a=c\cdot a=e\)，即 \(a\) 也是 \(x\) 的右逆元。
- 一个群中 \(x\) 的逆元唯一
证明：若 \(x\) 有两个逆元 \(a,b\)，则 \(a=a\cdot x\cdot b=b\)。
- 群中有消去律存在。即 \(\forall a,b,x\in G,ax=bx\iff a=b\)
证明：两边同乘逆元。