lsh的三角函数变换题

devdede / 2023-05-27 / 原文

题面

在蔡徐坤右肩带脱落时，形成两个角\(\alpha , \beta\)，其中
\(\alpha \in [\frac{\pi}{4} , \pi]\),\(\beta \in [\pi , \frac{3\pi}{2}]\) ,且 \(\sin2\alpha\) = \(\frac{ \sqrt{5}}{5}\),\(\sin(\alpha-\beta) = \frac{ \sqrt{10}}{10}\),问\(\alpha+\beta\)的值？

solution

首先，我们有 \(\sin2\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}\)，可以得到

\[\cos2\alpha = \pm \sqrt{1-\sin^2 2\alpha} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \]

由于 \(\alpha \in [\frac{\pi}{4} , \pi]\)，所以 \(\cos2\alpha < 0\)，因此 \(\cos2\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}\)。

接下来，我们需要求解 \(\cos(\alpha-\beta)\)。注意到

\[\begin{aligned} \cos(\alpha - \beta) &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\ &= \sin(\beta+\pi)\cos\alpha + \cos(\beta+\pi)\sin\alpha \\ &= -\sin\beta\cos\alpha - \cos\beta\sin\alpha \end{aligned} \]

由于 \(\beta \in [\pi , \frac{3\pi}{2}]\)，所以 \(\cos\beta < 0\)，即 \(\cos\beta = -\sqrt{1-\sin^2\beta} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\)。

将上述结果代入 \(\cos(\alpha-\beta) = \pm \frac{3\sqrt{5}}{10}\)，我们可以得到

\[\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2} \]

接下来，我们使用 \(\sin(\alpha-\beta) = \frac{\sqrt{10}}{10}\) 来求解 \(\cos(\alpha-\beta)\)。注意到

\[\begin{aligned} \sin(\alpha-\beta) &= \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \\ &= \sin\alpha\sqrt{1-\sin^2\beta} + \cos\alpha\frac{2\sqrt{5}}{5} \end{aligned} \]

由于 \(\sin(\alpha-\beta) = \frac{\sqrt{10}}{10}\)，我们可以得到

\[\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{5} \]

接下来，我们可以使用 \(\cos(\alpha-\beta) = -\frac{3\sqrt{5}}{10}\) 来求解 \(\cos(\alpha+\beta)\)。注意到

\[\begin{aligned} \cos(\alpha-\beta) &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\ &= -\sin\beta\cos\alpha - \cos\beta\sin\alpha \end{aligned} \]

将 \(\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\) 和 \(\cos(\alpha-\beta) = -\frac{3\sqrt{5}}{10}\) 代入上式，我们可以得到

\[\cos(\alpha+\beta) = -\frac{1}{2} \]

因此，\(\alpha+\beta\) 的值在第三象限，即

\[\alpha+\beta = \frac{3\pi}{2} + \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{7\pi}{4} \]

因此，\(\alpha+\beta\) 的值为 \(\frac{7\pi}{4}\)。