光与波

波动方程

假如\(f(x)\)满足该方程，那么\(f(x+vt)\)也满足该方程。线性叠加原理: 如果\(f(x,t)\)和\(g(x,t)\)都满足某个波动方程，那么它们俩的线性叠加也是该波动方程的解。

行波和驻波

• 行波 \(y(x,t)=Acos(kx-\omega t+\Phi)\) or \(y(x,t)=Asin(kx-\omega t+\Phi)\) or \(y(x,t)=Re(Ae^{i(kx-\omega t)})\)
  • y表示波在位置x和时间t处的位移
  • A是波的振幅，波所携带的能量和振幅的平方成正比\(A^2\)，复数形式\(A=|A|e^{i\delta}\)
  • k是波数\(k=\frac{2\pi}{\lambda}\)，其中\(\lambda\)是波长
  • \(\omega\)是角频率，\(\omega=2\pi f\)，其中f是频率
  • \(\Phi\)是初相位，决定了播的初始位置
  • 周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)
  • 波长 \(\lambda=\frac{c}{f}\)(波速除以频率)
  • 符号决定了波的传播方向。\(\omega\)为负表示该波是沿着x轴正方向传播的，\(\omega\)为正表示该波是沿着x轴负方向传播的.
• 驻波 \(y(x,t)=2Acos(kx)cos(\omega t+\Phi)\)
  • 驻波的波形不随时间平移而是存在一系列波腹和波节。
  • \(cos(kx)\)不分表示在x位置的振幅，\(cos(\omega t)\)表示随时间变化的振动
  • 驻波方程中空间项和时间项是分离的，表明波在不同位置的振幅不同，这些振幅不会随时间在空间上移动。

一根线上的波速

任意一个质量密度为\(\mu\)，张力为\(T\)的绳子上传递的波速为:

色散关系

\(\omega=f(k)\)阐释频率和波数之间的关系
对于真空中光的传播来说就是\(\omega=vk\)（linear dispersion）

• 群速度：\(\frac{d\omega}{dk}\)（一个波包传播的速度）
• 相速度：\(\frac{\omega}{k}\)(一个波峰、波谷传播的速度)

折射

• 折射和色散关系：设一束光在真空中角频率为\(\omega\)，波数为k，入射到某折射率为n的介质中，色散关系变为\(\omega=\frac{c}{n}k\)
• 折射后的波速变为\(v=\frac{c}{n}\)
• 折射后频率不变
• 折射后波长变为\(\lambda=\frac{\lambda_0}{n}\)

布儒斯特角

光从一种介质进入另一种介质时，反射光线完全偏振的入射角，这意味着反射光与折射光线之间呈90度，且反射光完全偏振，且偏振方向垂直于入射平面。当光线以布儒斯特角入射时入射角满足一下关系：

其中\(n_2\)是折射介质的折射率，\(n_1\)是入射介质的折射率。

瑞丽散射

瑞丽散射解释了散射强度与入射光波长之间的关系。散射光的强度与入射光的波长的四次方成反比。

并且散射光的强度与散射粒子的体积的六次方成正比

瑞丽判据

用于描述望远镜或其他光学设备分辨能力的一个标准，描述了两个点光源在望远镜视场中能否被分辨为两个独立的点还是由于衍射效应而被看做一个模糊的光斑。

其中 \(\theta_{min}\)是最小可分辨角度，\(\lambda\)是辐射的波长，D是望远镜的口径。

Malus's law

所有入射到极化器的光都会被极化到某一个方向\(\hat{n_0}\)，入射光原来的方向是\(\hat{n}\)，光强为\(I_0\)，那么出射光的方向会变为\(I=I_0 cos^2\theta\)

干涉

干涉指的是两束光分别走不同的路径，然后又汇合到一起，这个时候由于路径的差别(也可能这两束光走的是不同的介质)，两束光相遇时波的位置也会出现差别，可能出现波峰对波峰的增强叠加，也可能是波峰对波谷的互相抵消。
波1：\(f(x,t)=Acos(kx-\omega t+\delta_1)\)
波2：\(f(x,t)=Acos(kx-\omega t+\delta_2)\)

• 若\(|\delta_1-\delta_2|=2k\pi\) 则发生相长干涉（constructive interference）
• 若\(|\delta_1-\delta_2|=(2k+1)\pi\) 则发生相消干涉（destructive interference）

双缝干涉实验

波长为\(\lambda\)的单色光入射一个开了俩小孔的平板，最终在平板后的屏幕上形成干涉条纹。通过第一个孔的波为\(Acos(kx-\omega t)\)，通过第二个孔的波为\(Acos(k(x+\Delta x)-\omega t)\)，可以知道两束光行走的距离差为\(\Delta=x_1-x_2\)，两束光的相位差为\(\delta=k\Delta x\)。

• 相长干涉：\(\delta=2m\pi=k\Delta x\) 当 \(L\gg d\)时\(\Delta x=dsin\theta\)
• 相消干涉：\(\delta=(2m+1)\pi=k\Delta x\)

衍射

衍射就是光穿过障碍物后光的波长受到影响

单缝衍射实验

一束波长为\(\lambda\)的单色光穿过宽度为a的小孔，小孔距离屏幕为L。暗条纹会出现在\(asin\theta=m\lambda,m=1,2,\dots\)

• 当\(a<\lambda\)时，$a sin\theta = m \lambda $ 没有解，最大的亮条纹会布满整个屏幕，不会出现暗条纹
• 当\(a\gg \lambda\)时，暗条纹过于密集
• 单缝衍射的中央极大宽度由以下关系决定\(\omega=\frac{2L\lambda}{a}\)

圆孔衍射

• 定义：当光通过一个圆形小孔时，会产生衍射现象，衍射图样类似单缝衍射。
• 第一个圆孔衍射极小值的位置由Rayleigh判据得到\(Dsin\theta =1.22 \lambda\)，其中D是圆孔的直径，a是缝宽，\(\lambda\)是光的波长。
• Rayleigh判据的常见应用：观测两个点光源是，如果它们的角距离大于\(arcsin(\frac{1.22\lambda}{D})\)就可以被视为两个独立的光源，否则衍射图样会重叠，形成一个模糊的光斑。这一判据经常被用于解释望远镜或显微镜的分辨极限。

布拉格衍射

• 主要应用于X射线照射晶体时的情况。晶体可以看作是一组平行的原子平面，X射线从这些平面反射时会因为路径差而产生干涉，类似于双缝干涉。
• 布拉格衍射的极大值条件为：\(d sin\theta =\frac{n\lambda}{2}\) d是晶体原子平面的间距，\(\theta\)是入射X射线与平面的夹角，\(\lambda\)是X射线的波长，n是干涉极大值的阶数。
• 物理背景：X射线之所以用于晶体衍射是因为晶体中原子平面的间距d通常与X射线波长相当，能够产生明显的衍射效果，路径差\(2dsin\theta\)是因为光线需要来回穿过相邻原子层两次，类似于播磨干涉中的光程差。

光栅衍射

• 定义：光波遇到周期性结构时发生的一种衍射现象。当光垂直入射到光栅上时，衍射的极大方向由下式给出\(dsin\theta=k\lambda\)
• 0级衍射：与入射光方向相同，没有发生偏转，上边公式中的k代入0
• 1级衍射及更高级衍射：随着级数k的增大，衍射角度也增大 ，上边公式中的k代入1

计算时的一些小技巧

当角度很小的时候: \(sin\theta=cos\theta=tan\theta=\theta\)
将角度的数值结果换算成度数结果：\(数值结果\times \frac{180}{\pi}=度数结果\)

几何光学

反射

• 定义：光线遇到界面时，部分或全部被界面反射回原介质的现象。镜子等光滑表现会很好的反射光线，粗糙表面会造成漫反射。
• 规律：\(\theta_{in}=\theta_{out}\) 入射光、反射光和法线在同一平面内

折射

• 定义：光线从一种介质进入另一种介质时，由于光速的变化（因为介质的折射率发生了变化）而改变方向。
• snell定理：\(n_1 sin \theta_1=n_2 sin\theta_2\) 其中 \(n_1,n_2\)分别是两种介质的折射率，\(\theta_1\)是入射角，\(\theta_2\)是折射角，折射率是光在真空中的传播速度和光在介质中的传播速度的比值\(n=\frac{c}{v}\)。
• 当光线从折射率较低的介质传入折射率较高的介质是折射角变小，光线靠近法线；当光线从折射率较高的介质进入折射率较低的介质是，折射角变大，光线远离法线。

凸透镜

• 凸透镜能够汇聚光线。光线在通过透镜时发生折射，由于透镜表面的曲率，光线朝着焦点汇聚。
• 成像公式：\(\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\)
• 当物体位于焦点外时，凸透镜产生倒立缩小的实像；当物体位于焦点内时，凸透镜产生正立放大的虚像。

凹透镜

• 能够发散光线。光线在通过透镜时发生折射，光线会向外发射，看起来好像来自一个虚焦点。
• 成像公式：\(\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\) 注意这里的f是负值。
• 无论物体的位置如何，凸透镜总是产生正立缩小的虚像。

凸面镜

• 使平行光线发散，看似从镜子后边的虚焦点发出，反射角根据镜面的曲率发生变化。
• 成像公式：\(\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\)（其中焦距f是负值）
• 凸面镜总是产生正立缩小的虚像，广泛应用于后视镜中。

凹面镜

• 汇聚光线，平行光线反射后聚焦到一个焦点，反射角根据镜面的曲率改变。
• 成像公式：\(\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\)
• 当物体位于焦点外时，凹面镜产生倒立缩小的实像；当物体位于焦点内时，凹面镜产生正立方法的实像。

更多的信息

• 焦距与曲率半径的关系\(f=\frac{R}{2}\)，f是焦距，R是曲率半径
• 像和物体的大小比例等于像距和物距的大小比例

成像公式中的符号如何判断

焦距

• 正的焦距表示凸透镜或凹面镜
• 负的焦距表示凹透镜或凸面镜

物距

• 正的物距表示物体位于透镜或镜子前面（也即光进入的一侧，通常是指左侧，物体实际存在的情况）
• 负的物距表示物体位于透镜或镜子后面（即光离开的一侧，通常是右侧，表示虚物体）

像距

• 正的像距表示像位于透镜或镜子后面（即光离开的一侧，通常是右侧，表示实像）
• 负的像距表示像位于透镜或镜子前面（即光进入的一侧，通常是左侧，表示虚像）

瑞丽反射

核心：散射的强度与光的波长成反比关系

• 为什么天空是蓝色的？
• 为什么日落时的天空是红色的？

多普勒效应

经典的多普勒效应

v是波在这个介质中的速度，\(v_r\)是接收器相对于介质的速度，\(v_s\)是波源相对介质的速度，f是接收器收到的频率，\(f_0\)是波源发出的频率。

相对论中的多普勒效应

其中\(\beta=\frac{v}{c}\)，v是波源的速度。宇宙学中的红移现象来源于此。

极化

光的方向发生改变

• Malus's law：所有入射到极化器的光，都会被极化到某一个方向。假设入射光原来的方向是\(\hat{n_0}\)，光强为\(I_0\)，被极化到方向\(\hat{n}\)，那么出射光的光强会变为\(I=I_0cos^2\theta\)，\(\theta\)是入射方向和被极化方向的夹角。
• 未极化光经过一个极化器后方向会改变（极化器的方向），同时光强会变为原来的一半。

常见射线的波长范围

管道传声的问题

两端开口的管子

• 基频公式：\(f=\frac{v}{2L}\)
• 高次谐波：\(\lambda_n=\frac{2L}{n}\)，对应的频率为\(f_n=n\times f\)，这里n=1,2,3...

一端开口一端闭口的管子

• 基频公式：\(f=\frac{v}{4L}\)
• 仅存在奇次谐波：\(f_n=(2n-1)\times f=\frac{(2n-1)v}{4L}\)，这里n=1，2，3...

恒星的温度与其辐射的波长成反比

黑体辐射

• 太阳对距离为R的卫星的辐射功率：\(P\propto\frac{1}{r^2}\)
• 黑体温度与辐射功率的关系:\(P\propto T^4\)