Cantor 定理的证明
设 \(A\) 是集合，则 \({\rm card}A<{\rm card}\mathcal P(A)\).
证明：显然 \(i\colon A\longrightarrow \mathcal P(A),a\longmapsto \{a\}\) 是单射，所以 \({\rm card} A\le {\rm card}\mathcal P(A)\).
假设 \({\rm card}A={\rm card}\mathcal P(A)\)，即存在双射 \(\phi\colon A\longrightarrow\mathcal P(A)\).
考虑集合 \(A^{*}=\{x\in A\mid x\not\in \phi(x)\}\)，令 \(a=\phi^{-1}(A^{*})\)，则 \(a\in A^{*}\) 当且仅当 \(a\not\in \phi(a)=A^{*}\)，矛盾！
因此 \({\rm card} A<{\rm card}\mathcal P(A).\)