对数函数log
对数函数 \(\log\)
前言
表扬一下 福州屏东中学，新初一课本里是乘方，作业考的是 \(\log\) 的公式。
（要不是作业我都快忘记 \(\log\) 了）
定义
若 \(a^b=n\)，则 \(\log_a n=b\)。
即“底不变，俩交换”。
例如 \(\because 2^3=8,\therefore \log_2 8=3\)。
在这里的 \(n\) 称为真数。
性质
1、\(0\) 和负数没有对数，即 \(n>0\)。
2、\(\log _a 1=0\)，即 \(a^0=1\)。
3、\(\log_a a=1\)，即 \(a^1=a\)。
4、对数恒等式：\(a^{\log_a n}=n\)，这个可以直接从定义上推导。
若 \(\log\) 以 \(10\) 为底，则可记为 \(\lg\)，同 \(\log_{10}\)。
运算定律
1、对加真乘
\[\log _am+\log_an=\log_a(nm)
\]
2、对减真除
\[\log_am-\log_an=\log_a\frac{m}{n}
\]
3、双飞公式
\[\log_{a^m}\ b^n=\frac{n}{m}\ \log _a b
\]
4、换底
\[\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_{b}a}\\
\log_a b \times \log_b a=1
\]
运算
那么对于类似于 \(a^{\frac{n}{m}}\) 这样，指数是分数的乘方呢？该怎么算？
这类可以记为
\[a^{\frac{n}{m}}=(\sqrt[m]{a})^n
\]