三维无限深势阱的标准解
一、问题描述
考虑一个粒子被限制在三维无限深方势阱中，势阱在三个方向上的边界分别为：
- \(0 \leq x \leq L_x\)
- \(0 \leq y \leq L_y\)
- \(0 \leq z \leq L_z\)
在势阱内部（即 \(0 \leq x \leq L_x\)、\(0 \leq y \leq L_y\)、\(0 \leq z \leq L_z\)），势能 \(V = 0\)；而在势阱外部，势能 \(V = \infty\)。
二、薛定谔方程
在三个方向上无限深且相互独立的势阱中，三维时间无关薛定谔方程可以分离为三个一维问题。薛定谔方程表达式为：
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x, y, z) = E \psi(x, y, z)
\]
其中，\(\nabla^2\) 是拉普拉斯算子，\(\psi\) 是波函数，\(E\) 是能量本征值。波函数可以表示为三个方向上波函数的乘积：
\[\psi(x, y, z) = \psi_x(x) \psi_y(y) \psi_z(z)
\]
代入薛定谔方程，得到：
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{d^2 \psi_x}{dx^2} \psi_y \psi_z + \psi_x \frac{d^2 \psi_y}{dy^2} \psi_z + \psi_x \psi_y \frac{d^2 \psi_z}{dz^2} \right) = E \psi_x \psi_y \psi_z
\]
分离变量后得到三个独立的方程：
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi_x} \frac{d^2 \psi_x}{dx^2} = E_x
\]
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi_y} \frac{d^2 \psi_y}{dy^2} = E_y
\]
\[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi_z} \frac{d^2 \psi_z}{dz^2} = E_z
\]
满足总能量为：
\[E = E_x + E_y + E_z
\]
三、一维无限深势阱的解
首先，考虑沿 \(x\) 方向的一维无限深势阱，其边界条件为：
\[\psi_x(0) = \psi_x(L_x) = 0
\]
对应的时间无关薛定谔方程为：
\[\frac{d^2 \psi_x}{dx^2} + k_x^2 \psi_x = 0
\]
其中，\(k_x = \sqrt{\frac{2mE_x}{\hbar^2}}\)。方程的通解为：
\[\psi_x(x) = A \sin(k_x x) + B \cos(k_x x)
\]
根据边界条件：
- \(\psi_x(0) = 0\) 导致 \(B = 0\)
- \(\psi_x(L_x) = 0\) 导致 \(\sin(k_x L_x) = 0\)，即 \(k_x L_x = n_x \pi\)，其中 \(n_x = 1, 2, 3, \ldots\)
因此：
\[k_x = \frac{n_x \pi}{L_x}
\]
归一化波函数为：
\[\psi_x(x) = \sqrt{\frac{2}{L_x}} \sin\left(\frac{n_x \pi x}{L_x}\right)
\]
对应的能量为：
\[E_x = \frac{\hbar^2 k_x^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2 n_x^2}{2m L_x^2}
\]
类似地，沿 \(y\) 和 \(z\) 方向的一维无限深势阱的波函数和能量分别为：
\[\psi_y(y) = \sqrt{\frac{2}{L_y}} \sin\left(\frac{n_y \pi y}{L_y}\right), \quad E_y = \frac{\hbar^2 \pi^2 n_y^2}{2m L_y^2}
\]
\[\psi_z(z) = \sqrt{\frac{2}{L_z}} \sin\left(\frac{n_z \pi z}{L_z}\right), \quad E_z = \frac{\hbar^2 \pi^2 n_z^2}{2m L_z^2}
\]
四、三维无限深势阱的解
将三个方向的波函数组合起来，得到三维波函数：
\[\psi(x, y, z) = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin\left(\frac{n_x \pi x}{L_x}\right) \sin\left(\frac{n_y \pi y}{L_y}\right) \sin\left(\frac{n_z \pi z}{L_z}\right)
\]
对应的总能量为：
\[E = E_x + E_y + E_z = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} + \frac{n_z^2}{L_z^2} \right)
\]
五、总结
通过分离变量法，我们成功地将三维无限深势阱的问题分解为三个独立的一维问题，并得到了粒子的波函数和能量本征值。