线性代数--矩阵

躺尸的大笨鸟-已把被子掀开，马上起飞，嗖嗖嗖嗖->->-> / 2024-10-13 / 原文

矩阵

代表一张树表
m*n 行数不一定等于列数
$A = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$
同型矩阵有前提：AB行数相等列数相等
$A_{34} B_{34}$
矩阵相等同型矩阵并且对应的元素相等
零矩阵所有元素均为0
两个零矩阵一定相等是错误的：矩阵相等的前提是同型矩阵

特殊矩阵

方阵：行数===列数也有主对角线和副对角线
一行一列： $A = (\begin{matrix} 1 \end{matrix}) = 1$
负矩阵方阵
所有元素都取相反数
上三角形矩阵，不能这样写。方阵
下三角形矩阵方阵
对角型矩阵方阵
数量矩阵方阵
主对角元素全是一样，特殊的对角型矩阵
单位阵方阵
主对角元素全是1

矩阵的加减法

对应的元素相加减,有前提条件，必须要为同型矩阵
$\begin{array}{l} A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}) B = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 9 \\ 10 & 1 & 3 \end{array}) \\ A + B = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 12 \\ 11 & 2 & 7 \end{array}) A - B = (\begin{array}{c} 1 & 2 & - 6 \\ - 9 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}$
运算规律：

A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + 0 = A 0为零矩阵必须为同型矩阵
A +（-A）= 0
A - B = A +（-B）
A + B = C A = C - B

矩阵的数乘

矩阵提公因子：矩阵的所有元素均有公因子k，k向外提一次
行列式提公因子：

行列式的某一行有公因子k，k向外提一次
行列式的所有元素均有公因子k，k往外提n次

运算规律 K,L是数

K(A + B) =KA + KB
(K + L) A = KA + LA
(kL)A = k(LA) = L(kA)
1 * A = A
-1 * A = -A

矩阵的乘法

"中间相等，取两头"
$A_{2 \times 4} B_{4 \times 3} = C_{2 \times 3}$

两个矩阵做乘法的前提条件
第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数
结果矩阵的形状
结果矩阵的行数=第一个矩阵的行数
结果矩阵的列数=第二个矩阵的列数
乘法不满足

不满足交换律 AB 一般不等于 BA，AB有意义时，BA不一定有意义
不满足消去律 AB = BC 且A不等于0 推不出B===C
AB = 0 推不出 A=0 或 B=0

左乘右乘，不能搞反，有问题
矩阵乘法满足

结合律（AB）C = A（BC）
分配律 A（B+C）= AB + AC （B+C）A= BA + CA
k(AB) = (kA)B = A(kB)
AE = EA = A
AO = OA = O O是零矩阵
对角型 $[\begin{matrix} a & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a \end{matrix}] = a [\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}] = a E$
$[\begin{matrix} a_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & b_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & b_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} b_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{2} b_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n} b_{n} \end{matrix}]$

矩阵可交换的 AB= BA

AB是同阶方阵
不是同阶方阵一定不可交换
AB BA不想等不可交换
E任何同阶方阵均可交换 EA = AE = A
同阶的对角阵也可交换

方阵的幂只有方阵才能求

$\begin{matrix} A^{k} = A \cdot A \cdot A \cdot A \\ A^{0} = E \end{matrix}$

性质

$\begin{matrix} A^{k_{1}} \cdot A^{k_{2}} = A^{k_{1} + k_{2}} \end{matrix}$
$\begin{matrix} (A^{k_{1}})^{k_{2}} = A^{k_{1} \cdot k_{2}} \end{matrix}$

公式

2. 二次公式

3. 三次公式

4. 十字

例1：

矩阵的转置

$\begin{matrix} A_{m \times n} = (A^{T})_{n \times m} \end{matrix}$

性质

$\begin{matrix} (A^{T})^{T} = A \end{matrix}$
$\begin{matrix} (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T} \end{matrix}$
$\begin{matrix} (A - B)^{T} = A^{T} - B^{T} \end{matrix}$
$\begin{matrix} (k A)^{T} = k A^{T} \end{matrix}$
$\begin{matrix} (A B)^{T} = B^{T} A^{T} \end{matrix}$
$\begin{matrix} (A B C)^{T} = C^{T} B^{T} A^{T} \end{matrix}$
$\begin{matrix} (A^{k})^{T} = (A^{T})^{k} \end{matrix}$

对称矩阵和反对称矩阵

奇数阶反对称行列式等于0

方阵的行列式只有方阵才有行列式

$\begin{matrix} A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}) | A | = | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | \end{matrix}$