【文化课 / 数学】不等式精粹
1. \(2a+3b=2\)，求 \(ab_{\max}\)
解：\(\dfrac{2a+3b}{2}=1\)，故 \(\dfrac{2a+3b}{2}\ge \sqrt{2a\times 3b}\).
推得 \(\sqrt{6ab}\le 1\)，即 \(ab\le \dfrac{1}{6}\).
当 \(a=\dfrac{1}{2},b=\dfrac{1}{3}\) 时取等。
2. \(x>3\)，求 \((2x+\frac{3}{x-3})_{\min}\)
解：\(2(x-3)+\dfrac{3}{x-3}+6\ge 2\sqrt{2(x-3)\times\dfrac{3}{x-3}}+6=2\sqrt 6 + 6\)
当 \(2(x-3)=\dfrac{3}{x-3}\) 时，即 \(x=3+\dfrac{\sqrt 6}{2}\) 取等。
配凑大法。
3. \(a+b=1(a>0,b>0)\)，求 \((\frac{1}{a}+\frac{1}{b})_{\min}\)
解：\((a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+2\ge 2\sqrt{\dfrac{b}{a}\times\dfrac{a}{b}}+2=4\)
当 \(a=b=\dfrac{1}{2}\) 时取等。
凑“1”大法。
所求最小值为常数，即 \(0\) 次。\(a+b=1\) 为 \(1\) 次，\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) 为 \(-1\) 次，相乘即为 \(0\) 次。
4. \(a+2b=2ab\)，求 \((a+b)_{\min}\)
4.1 法一：凑“1”大法
解：\(\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{a}=1\).
\((a+b)\times 1=(a+b)\times \dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{3}{2}\ge 2\sqrt{\dfrac{a}{2b}\times\dfrac{b}{a}}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}+\sqrt 2\).
当 \(a=1+\sqrt 2-\dfrac{\sqrt 5}{2},b=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\) 时取等。
\(1\) 次多项式 = \(2\) 次多项式，可以构造出 \(-1\) 次多项式 = \(1\)。使 "\(1\)" 成为任意次数多项式之间建立联系的桥梁。
最后要求 \(0\) 次的最大值（常数）。只要将构造出来的 \(-1\) 次多项式乘上 \(1\) 次多项式即可。
4.2 法二：权方和不等式
解：\(\dfrac{1}{2b}+\dfrac{2}{2a}=1\ge \dfrac{(1+\sqrt2)^2}{2a+2b}\).
解得：\(a+b\ge\dfrac{(1+\sqrt2)^2}{2}=\dfrac{3}{2}+\sqrt2\).
5. \(a+b=1(a>0,b>0)\)，求 \((\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{ab})_{\min}\)
解：\(\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{2(a+b)}{b}+\dfrac{(a+b)^2}{ab}=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{2a}{b}+2+\dfrac{a}{b}+2+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{2b}{a}\times\dfrac{3a}{b}}+5=5+\sqrt6\).
当 \(a=\sqrt{6}-2,b=3-\sqrt{6}\) 时取等。
齐次化大法。
同样，求 \(0\) 次常数，所有相加的分数之和的多项式次数要相同，即齐次化。齐次化之后使用不等式就很方便了。
6. \(a^2+b^2=7\)，求 \((4a+5b)_{min}\)
解：\((a^2+b^2)(4^2+5^2)=287\ge (4a+5b)^2\)
推得 \(-\sqrt{287}\le 4a+5b \le \sqrt{287}\)
故 \((4a+5b)_{min}=-\sqrt{287}\)。
柯西不等式大法。
\((a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2\).