数学分析：数列的极限
实数系的连续性
有理数：
稠密性： 任意一段长度大于 \(0\) 的线段上，总是存在无穷多个有理点。
无理数： 无限不循环小数。
实数系：
实数集：
\[R=\{x\ |\ x\ 是有理数或无理数\}
\]
\(R\)：实数连续统
数轴： 代表全体实数的坐标轴。
最大数与最小数：可能存在，可能不存在。
上确界与下确界：一定存在。
数列的极限
定义：
对于数列 \(\{a_n\}\) ，常数 \(a\) ，如果 \(\forall \varepsilon\) ，总是 \(\exists N\)，\(\forall n>N\)，\(|a_n-a|<\varepsilon\) 。
则称 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a\)，\(a\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的极限。
记作：
\[\large \lim_{n\to \infty}a_n=a
\]
PS： 此定义为 \(\varepsilon - N\) 语言的第一次出现，这是所有分析类语言的基础。
收敛数列：
- 唯一性
- 有序性
- 保号性
- 保不等式性
- 迫敛性
数列极限的证明
极限的定义：
需要熟练使用不等式。