709 Round Day 5
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（30分，解答）求证：对于任意的实数 \(a,b\) 满足 \(a \not = 0, b \not = 0\)，都有 \(a^2 - ab + b^2 > 0\).
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（60分，解答）对于多项式 \(a^2 - 2ab + 2b^2 - 2a + 4b + 10\)，当 \(a, b\) 为何值时，原式取到最小值？并求出这个最小值.
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（110分，解答）已知 \(ax + by = 7, ax^2 + by^2 = 49, ax^3 + by^3 = 133, ax^4 + by^4 = 406\)，求 \(1995(x + y) + 6xy - \frac{17}{2}(a + b)\).
- （30分，解答）求证：对于任意的实数 \(a,b\) 满足 \(a \not = 0, b \not = 0\)，都有 \(a^2 - ab + b^2 > 0\).
【分析与解】本题证法不唯一，下面给出一种较为简易的证法。
当 \(ab > 0\) 时，\(a^2 - ab + b^2 = (a - b)^2 + ab > 0\);
当 \(ab < 0\) 时，\(a^2 - ab + b^2 = (a + b)^2 - 3ab > 0\).
综上，对于任意的实数 \(a, b\) 满足 \(a \not = 0, b \not = 0\)，都有 \(a^2 - ab + b^2 > 0\).
- （60分，解答）对于多项式 \(a^2 - 2ab + 2b^2 - 2a + 4b + 10\)，当 \(a, b\) 为何值时，原式取到最小值？并求出这个最小值.
【分析与解】本题解法不唯一，下面给出两种解法.
【解法一】\(\because\) 原式 \(= (a - b - 1)^2 + (b - 3)^2\)
\(\therefore\) 当 \(\begin{cases} a - b - 1 = 0 \\ b - 3 = 0 \end{cases}\)，即 \(\begin{cases} a = 4 \\ b = 3 \end{cases}\) 时，原式取到最小值 \(0\).
【解法二】将原式看作关于 \(a\) 的二次函数，将 \(b\) 看作常数.
则原式 \(= a^2 + (-2b - 2) \cdot a + (2b^2 -4b + 10)\). 根据二次函数的性质，易知当且仅当 \(a = -\frac{-2b-2}{2} = b + 1\) 时，该二次函数取到最小值.
- （110分，解答）已知 \(ax + by = 7, ax^2 + by^2 = 49, ax^3 + by^3 = 133, ax^4 + by^4 = 406\)，求 \(1995(x + y) + 6xy - \frac{17}{2}(a + b)\).