709 Round Day 9

panhongxuanblog / 2023-05-19 / 原文

\[\Huge\text{709 Round Day 9} \]

\[\large\text{Math Round} \]

\[\large\text{Time: 2023.5.15 17:30 - 18:00} \]

\[\large\text{出题: phx, yhn 验题: phx, yhn 题面: phx} \]

\[\large\text{满分: 200 分} \]

【温馨提示】本场比赛题量较多，按难度单调递增排列，希望大家不要死磕一道题，最好每一题都看一下，总有适合自己的题.

说明：YH 赛制是指第一次可以只提交填空或选择的答案，如果对了算满分，如果错了还可以再提交，但下一次提交时必须带上过程.因该赛制由 yyh 发明，所以称为 YH 赛制.

（20 分，填空）【By yhn】已知 \(x = a^2 + b^2\)，\(y = c^2 + d^2\)（\(a, b, c, d\) 为整数）.试将 \(xy\) 分解为两个整数的平方和：\(xy = ( \_\blacktriangle\_ )^2 + ( \_\blacktriangle\_ ) ^ 2\).（写出一种即可）
（40 分，YH）【By phx】已知 \(abc \not = 0\)，且 \(a + b + c = 0\)，则代数式 \(\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab}\) 的值是 \(\_\blacktriangle\_\).
（40 分，YH）【By phx】若 \(\frac{x}{3y} = \frac{y}{2x - 5y} = \frac{6x - 15y}{x}\)，则 \(\frac{4x^2 - 5xy + 6y^2}{x^2 - 2xy + 3y^2}\) 的值是 \(\_\blacktriangle\_\).
（40 分，YH）【By phx】实数 \(x, y\) 满足 \(x \ge y \ge 1\) 和 \(2x^2 -xy -5x + y + 4 = 0\)，则 \(x + y = \_\blacktriangle\_\).

【提示】将原式分解为两个式子的和，但这两个式子不一定都是完全平方。

（60 分，解答）【By yhn】已知正数\(a, b, c\) 满足 \(a^2 = b(b + c)\)，\(b^2 = c(c + a)\)，求证：\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}\).

\[\Huge\text{709 Round Day 9 Solution} \]

\[\large\text{Math Round} \]

\[\large\text{Time: 2023.5.15 17:30 - 18:00} \]

\[\large\text{出题: phx, yhn 验题: phx, yhn 题面: phx 题解: phx} \]

\[\large\text{满分: 200 分} \]

【温馨提示】本场比赛题量较多，按难度单调递增排列，希望大家不要死磕一道题，最好每一题都看一下，总有适合自己的题.

说明：本题解中，\(\sum\) 有时候表示轮换式或对称式，例如 \(\sum a^2\) 表示 \(a^2 + b^2 + c^2\)，\(\sum x^2y\) 表示 \(x^2y + y^2z + z^2x\).

（20 分，填空）【By yhn】已知 \(x = a^2 + b^2\)，\(y = c^2 + d^2\)（\(a, b, c, d\) 为整数）.试将 \(xy\) 分解为两个整数的平方和：\(xy = ( \_\blacktriangle\_ )^2 + ( \_\blacktriangle\_ ) ^ 2\).（写出一种即可）

答案：【参考答案1】\(ac + bd\) 和 \(ad - bc\).

【参考答案2】\(ac - bd\) 和 \(ad + bc\).

在【参考答案1】和【参考答案2】中，将 \(x\) 或 \(y\) 取相反值可以得到其他答案.

解：\(xy = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd - 2abcd = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2\).

同样地，也可得出 \(xy = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2\).

（40 分，YH）【By phx】已知 \(abc \not = 0\)，且 \(a + b + c = 0\)，则代数式 \(\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab}\) 的值是\(\_\blacktriangle\_\).

答案：\(3\).

解：原式 \(= \frac{\sum a^4bc}{a^2b^2c^2} = \frac{abc \sum a^3}{a^2b^2c^2} = \frac{\sum a^3}{abc} = \frac{(a + b + c)(\sum a^2 - \sum ab) + 3abc}{abc} = \frac{3abc}{abc} = 3\).

（40 分，YH）【By phx】若 \(\frac{x}{3y} = \frac{y}{2x - 5y} = \frac{6x - 15y}{x}\)，则 \(\frac{4x^2 - 5xy + 6y^2}{x^2 - 2xy + 3y^2}\) 的值是 \(\_\blacktriangle\_\).

答案：\(\frac{9}{2}\).

解：本题有 2 种解法：等比定理和解方程组.

【解法1（等比定理）】由已知条件知 \(x \not = 0, y \not = 0\). 把已知等式变形并利用等比定理消去 \(y\)，得
\(\frac{25x}{75y} = \frac{15y}{30x - 75y} = \frac{6x - 15y}{x} = \frac{25x + 15y +6x - 15y}{75y + 30x - 75y + x} = \frac{31x}{31x} = 1\).

\(\therefore x = 3y\).故原式 \(= \frac{36y^2 - 15y^2 + 6y^2}{9y^2 - 6y^2 + 3y^2} = \frac{27y^2}{6y^2} = \frac{9}{2}\).

【解法2（解方程组）】易知 \(x \not = 0, y \not = 0\).

由\(\frac{x}{3y} = \frac{y}{2x - 5y}\) 得 \(2x^2 - 5xy = 3y^2\)，即 \((2x + y)(x - 3y) = 0\).

由 \(\frac{x}{3y} = \frac{6x - 15y}{x}\) 得 \(x^2 = 18xy - 45y^2\)，即 \((x - 15y)(x - 3y) = 0\).

（Ⅰ）当 \(x - 3y = 0\) 时，\(x = 3y\)，原式 \(= \frac{36y^2 - 15y^2 + 6y^2}{9y^2 - 6y^2 + 3y^2} = \frac{27y^2}{6y^2} = \frac{9}{2}\).

（Ⅱ）当 \(x - 3y \not = 0\) 时，有 \(\begin{cases} 2x + y = 0 \\ x - 15y = 0 \end{cases}\)，得 \(\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}\)，与 \(x \not = 0, y \not = 0\) 矛盾，舍去.

综上，原式 \(= \frac{9}{2}\).

（40 分，YH）【By phx】实数 \(x, y\) 满足 \(x \ge y \ge 1\) 和 \(2x^2 -xy -5x + y + 4 = 0\)，则 \(x + y = \_\blacktriangle\_\).

【提示】将原式分解为两个式子的和，但这两个式子不一定都是完全平方。

答案：\(4\).

解：原式 \(= (x^2 - 4x + 4) + (x^2 - xy - x + y) = (x - 2)^2 + (x - y)(x - 1) = 0\).

\(\because x \ge y \ge 1, \therefore (x - y)(x - 1) \ge 0\).

又\(\because (x - 2)^2 \ge 0, \therefore \begin{cases} (x - 2)^2 = 0 \\ (x - y)(x - 1) = 0 \end{cases}, \therefore \begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}, x + y = 4\).