GAMES105笔记与理解（二）
线性代数
1. 向量
- 向量是一种同时具有大小和方向的量
给定一个向量\(\mathbf{a}\)，大小为\(||\mathbf{a}||\)，方向为\(\frac{\mathbf{a}}{||\mathbf{a}||}\)（归一化） - 可以表示一个位置、特征值....
2. 向量叉乘的两种理解
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叉乘的作用在于寻找一个同时垂直于两个向量的向量，比如法向量
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给定两个向量，如何求出其中一个向量旋转到另一个向量的最小旋转？利用叉乘得到旋转轴、利用点乘得到最小旋转角
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如果给定旋转轴u和旋转角\(\theta\)，如何得到旋转后的向量的值？
- 方向：
这里的v指的是找到一个同时垂直于u和a的方向，t是同时垂直于u和v的方向 - 大小：在上图的平面上进行推理，如下
这里的\(||\mathbf{u}\times \mathbf{a}||\)是\(\mathbf{a}\)在该平面的投影，是\(\mathbf{a}\)和\(\mathbf{u}\)夹角乘上\(\mathbf{a}\)的值，相当于\(||\mathbf{u}\times \mathbf{a}||\)，即叉乘的长度
最后得到\(\mathbf{a}\)往\(||\mathbf{v}\)方向移动\(sin\theta\)，往\(||\mathbf{t}\)方向移动\(1-cos\theta\) - 总的公式：Robrigues's rotation formula
\(\mathbf{b}=\mathbf{a}+(sin\theta)\mathbf{u}\times \mathbf{a} +(1-cos\theta)\mathbf{u}\times (\mathbf{u}\times \mathbf{a})\)
- 方向：
3. 矩阵
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特殊矩阵
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矩阵的操作
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叉乘的矩阵形式
叉乘的操作用矩阵形式表示：
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旋转用矩阵表示
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正交阵