七年级因式分解拓展 错题分析

第一套

第三题

计算 \((2a+3b)^2-(2a-3b)^2\)

平方差公式乘出来的是原来的项，没有平方。所以此题应该是 \(4a \times 6b = 24ab\) 而不是 \(16a^2 \times 36b^2 = 576a^2b^2\)

第七题

已知 \(9x^2-(k-2)x+16\) 是完全平方式，求 \(k\)

众所周知，完全平方式有 \(a^2+2ab+b^2\) 和 \(a^2-2ab+b^2\) 两种形态！！！所以答案有两个，\(k-2\) 分别为 \(24\) 和 \(-24\)

第十题

已知 \((ax+n)^4=ax^4+bx^3+cx^2+dx+16\)，且 \(a ≠ 0\)，求 \(b+c+d\)

展开后对比系数得 \(a^4=1\)，\(n^4=16\)。但是因为是偶次方，所以 \(a, n\) 都有两种情况！！！。\(a=±1\)，\(n=±2\)

第十一题

已知 \(a+2b=5\)，\(ab=3\)，求 \((a^2+4)·(b^2+1)\)

展开原式后得到 \(a^2b^2+(a^2+4b^2)+4\)，观察到括号内结构与 \(a+2b\) 相似，于是拆添项得 \(a^2b^2+(a+2b)^2-4ab+4\)，这样每一项都可以计算出来了

第十三题

因式分解：\((1-x)(2-x)(3-x)(4-x)-24\)

分组换元得到 \((x^2-5x+10)(x^2+5x)\)。但是没有结束！！！第二个括号还能提取 \(x\)！！！

第十五题

已知 \(x^2-2xy-3y^2+3x-5y+k+9\) 可以分解为两个一次因式，求 \(k\)

十字相乘中间项系数是相加，而常数项系数是相乘！！！

第十六题

已知 \(x^2-5x-1=0\)，求 \(x^4+\cfrac{1}{x^4}\)

原式改为换元形态：\(x^2=5x+1\)，然后两边同时除以 \(x\) 得到 \(x=5+\cfrac{1}{x}\)，移项求到 \(x-\cfrac{1}{x}\)，再平方两次即可

第十八题

已知 \(\cfrac{a+b+c}{a}=\cfrac{a+b+c}{b}=\cfrac{a+b+c}{c}\)，求 \(\cfrac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}\)

对于原式这种情况，我们分 \(a+b+c=0\) 和 \(a+b+c ≠ 0\) 两种情况来讨论。第一种直接代入得到答案 \(-1\)，第二种得到 \(a=b=c\) 代入得到另一个答案 \(8\)

第二套

第七题

已知 \(2a^2-2ab+b^2+4a+4\)，求 \(a^2b+b^2a\)

\(a^2b+b^2a\) 的结构似乎在原式中找不到，那么考虑直接求出 \(a,b\) 的值。而且，仅通过比变量数量少的式子求出所有变量确定值的唯一方法就是非负性。本题可以拆 \(2a^2\) 项后凑平方：\((a^2-2ab+b^2)+(a^2+4a+4)\)。求出变量值后代入计算即可。

第八题

已知 \(x+2y=2\)，\(xy=-1\)，求 \(x-2y\)

本题用完全平方公式解决。从一式可以得到 \((x+2y)^2=4\)，然后减去 \(8xy\) 可以得到 \((x-2y)^2=12\)，所以 \(x-2y=\sqrt{12}=±2\sqrt{3}\)。开根号注意答案有两个，勿忘正负号！！！

第十题

已知 \(\cfrac{3}{x+y}=\cfrac{4}{y+z}=\cfrac{5}{z+x}\)，求 \(\cfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\) 的值

碰到这种连比的式子，直接设 k 得到比例关系即可。设 \(\cfrac{3}{x+y}=\cfrac{4}{y+z}=\cfrac{5}{z+x}=k\)，那么 $$\begin{alignedat}{3} x+y=3k \ y+z=4k \ z+x=5k \end{alignedat}$$，解这一个方程组得到 $$\begin{alignedat}{3} &x=&2&k \ &y=&k \ &z=&3&k \end{alignedat}$$ ，代入原式求出答案即可

第十一题

已知 \((\cfrac{8}{25})^{-a}·(\cfrac{2}{9})^{-b}·(\cfrac{3}{5})^{-b}=18\)，求 \(a,b,c\)

这里我们可以把分数形式化成整数指数幂的形式，得到 \(5^{2a} \div 2^{3a} \times 3^{2b} \div 2^b \times 5^c \div 3^c=2 \times 3^2\)，合并后对比各质因子指数可得 $$\begin{alignedat}{3} 2a+c=0 \ -3a-b=1 \ 2b-c=2 \end{alignedat}$$，解得 $$\begin{alignedat}{3} a&=-1 \ b&=2 \ c&=2 \end{alignedat}$$

第十四题

已知关于 \(x\) 的分式方程 \(\cfrac{k}{x-2}+\cfrac{3}{x+2}=\cfrac{1}{x^2-4}\) 的根为正整数，求 \(k\)

通分后得到 \(x=\cfrac{7-2k}{k+3}\) 且需要是正整数，所以得到 \((k+3)(2k-7)<0\)，解得 \(-3<k<\cfrac{7}{2}\)。又因为 \(k\) 是整数，枚举得到 \(k=-2\)

第十五题

已知 \(2x^4+ax^3+8x^2+2x+b\) 能被 \(2x^2+x+1\) 整除，求 \(a,b\)

这样直接长除是不可行的，我们可以化除为乘，用待定系数法。设原式 \(=(2x^2+x+1)(x^2+mx+n)\)，展开后对比系数，求出 \(m,n,a,b\) 即可

第十六题

如果 \(a,b,c\) 是 \(\vartriangle ABC\) 的三边，且满足 \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)，判断 \(\vartriangle ABC\) 的形状

原式乘以二配方得到 \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)，分组得到 \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)，由于非负性得到 \(a-b=b-c=c-a=0\)，所以 \(a=b=c\)，这是一个等边三角形

第十七题

定义：正整数 \(m,n\) 如果满足 \(n+6|n^3+m\)，就把 \(n\) 称为 \(m\) 的“如意数”。求：\((1)\ 360\) 的如意数之和；\((2)\ 2021\) 的全部如意数。

第一小问

根据立方和公式得到 \(n+6 | n^3+6^3\)。如果 \(n\) 是 \(360\) 的如意数，那么 \(n+6|n^3+360=n^3+6^3+144\)，\(n+6|144\)。\(144\) 大于 \(6\) 的因数有 \(10\) 个，求出因数和 \(403\)，再减去小于等于 \(6\) 的正因数和与多余的 \(10 \times 6=60\)，得到 \(403-1-2-3-4-6-60=327\)

第二小问

\(n^3+2021=n^3+216+1805\)，分解得到 \(1805=5 \times 19^2\)，共 \(6\) 个约数，其中大于 \(6\) 的有 \(19, 95, 361, 1805\)，分别减去 \(6\) 得到所有的如意数：\(13,89,355,1799\)

第十八题

已知 \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=2\)，求证 \(a·(1-a)^2=b·(1-b)^2=c·(1-c)^2\) 恒成立

\((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\) 得到 \(ab+bc+ca=1\)。观察原式，可以拿出 \((1-a)^2\) 进行推导：\((1-a)^2=1-2a+a^2=1-a(2-a)=1-a(b+c)=1-ab-ac=bc\)，同理得 \((1-b)^2=ac\)，\((1-c)^2=ab\)。代入需要证明的式子中得到 \(abc=abc=abc\)，原命题得证