【题解】洛谷 P1002 [NOIP2002 普及组] 过河卒

vectorSpace-blog / 2023-08-23 / 原文

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解题思路

这是一道经典的动态规划题目。

如果尝试使用深度优先搜索（dfs）或广度优先搜索（bfs）做就会获得 TLE （注意数据范围）。于是我们想到了更为高级的动态规划（Dynamic Programming, dp）。

简略介绍动态规划算法的核心思想：把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题。与递推有几分相似？递推其实是动态规划的一个分支！

在求解动态规划这一类问题时，一般有三步：

1.状态的表示

在这道题目中，可以使用一个二维数组 dp[n][m] 来存放每一个子问题的答案，即用 dp[i][j] 来表示到达第i行第j列所需的最多步数，dp[n][m] 也就是答案了。

2.设立边界条件

由于过河卒初始就在第0列第0行，所以 dp[0][0] = 1；而他只能向下走或向右走，当在第0行或第0列时，情况只有1种。

3.状态转移方程

动态规划一类题目中的最关键部分。过河卒只能向下走或向右走，故 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

注意：还要注意马可以到达的地方，过河卒不能到达。

代码实现

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N = 25;
 4 const int dir[][2] = {
 5     {1, 2}, {1, -2}, {2, 1}, {2, -1},
 6     {-1, 2}, {-1, -2}, {-2, 1}, {-2, -1}
 7 };
 8 long long dp[N][N];
 9 int n, m, sx, sy;
10 bool vis[N][N];
11 int main() {
12     cin >> n >> m >> sx >> sy;
13     vis[sx][sy] = true;
14     for (int i = 0; i < 8; i ++){
15         int tx = sx + dir[i][0];
16         int ty = sy + dir[i][1];
17         if (tx >= 0 && tx <= n && ty >= 0 && ty <= m)
18             vis[tx][ty] = true;
19     }
20     dp[0][0] = 1;
21     for (int i = 0; i <= n; i ++)
22         for (int j = 0; j <= m; j ++)
23             if (!vis[i][j]){
24                 if (i) dp[i][j] += dp[i - 1][j];
25                 if (j) dp[i][j] += dp[i][j - 1];
26             }
27     cout << dp[n][m];
28     return 0;
29 }