关于 n+1 个点可以唯一确定一个 n 次函数的证明
设原函数 \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}{a_ix^i}\)。
定义一个范德蒙矩阵 \(V\) 为:
\[V =
\begin{bmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n \\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
\end{bmatrix}
\]
设我们求出的 \(y\) 坐标为 \(Y\)，则
\[\begin{aligned}
&V \times a = Y\\
&a = V^{-1} \times Y
\end{aligned}
\]
即证明 \(V\) 存在逆矩阵 \(V^{-1}\)，也就是 \(\det V \not= 0\)。
又因为 \(\det V = \prod_{1\leq i < j \leq n}{(x_j-x_i)}\)，所以它恒不等于 \(0\)。
证毕。
(至于它的行列式等于那个式子的证明，先咕一会儿。。。)