学习笔记——狄利克雷卷积
狄利克雷卷积
用于计算求和问题（如莫比乌斯反演）
定义
设\(f\)和\(g\)为算数函数，其卷积为\(f*g\),
则
\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac nd)
\]
卷积是对正因数求和。
举个例子：定义恒等函数\(I(n)=n\),常数函数\(1(n)=1\).
则
\[(I*1)(n)=\sum_{d|n}I(d)1(\frac nd)=\sum_{d|n}d*1=\sum_{d|n}d
\]
性质
1.狄利克雷卷积适用交换律，结合律，分配律：
\[f*g=g*f
\]
\[(f*g)*h=f*(g*h)
\]
\[f*(g+h)=(f*g)+(f*h)
\]
2.两个积性函数的狄利克雷卷积仍是积性函数
3.引入元函数的定义为
$\varepsilon(n)
= \lfloor \frac 1n\rfloor=
\begin{cases}
1 & n=1
\\
0 & n>1
\end{cases} $
对于任何\(f\),有$ f* {\varepsilon}=f $.