【专题一】三角函数，平面向量，解三角形与复数
这是个人【专题式学习】的第一部分——三角函数，平面向量，解三角形与复数。
之所以把这三个放在一起，是因为它们联系真的很紧密。（）
三角函数
定义
考虑一个平面直角坐标系中的点 \(P(x,y)\) （\(P\) 不与原点重合），角 \(\alpha\) 的始边为 \(x\) 轴正半轴，终边为射线 \(OP\)。
不妨记 \(\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\)，
我们定义
-
正弦 \(\displaystyle\sin \alpha:=\frac{y}{r}\)
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余弦 \(\displaystyle\cos \alpha:=\frac{x}{r}\)
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正切 \(\displaystyle\cos \alpha:=\frac{y}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
-
余切 \(\displaystyle\cot \alpha:=\frac{x}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
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正割 \(\displaystyle\sec \alpha:=\frac{r}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
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余割 \(\displaystyle\csc \alpha:=\frac{r}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
不妨在单位圆 \(x^2+y^2=1\) 上取点 \(P\)，则此时 \(r=1\)，三角函数简化为
-
正弦 \(\displaystyle\sin \alpha:=y\)
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余弦 \(\displaystyle\cos \alpha:=x\)
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正切 \(\displaystyle\cos \alpha:=\frac{y}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
-
余切 \(\displaystyle\cot \alpha:=\frac{x}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
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正割 \(\displaystyle\sec \alpha:=\frac{1}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
-
余割 \(\displaystyle\csc \alpha:=\frac{1}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
值域
显然（在实数范围内考虑时）
\(\sin\alpha, \cos\alpha\in\left[-1,1\right]\)，
\(\tan\alpha, \cot\alpha\in\mathbb{R}\)，
\(\sec\alpha, \csc\alpha\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)\)
以下的自变量取值默认为让三角函数有意义的值。
周期性
以下周期默认为“最小正周期”。
由定义可知，\(\sin x\)，\(\cos x\)，\(\sec x\)，\(\csc x\) 的周期均为 \(2\pi\)，\(\tan x\) 和 \(\cot x\) 的周期均为 \(\pi\)。
三角函数线
别急，等我找找图片
三角函数的基本关系
乘积为 \(1\)
\[\boxed{\sin x\csc x=1}\tag{1.1}
\]
\[\boxed{\cos x\sec x=1}\tag{1.2}
\]
\[\boxed{\tan x\cot x=1}\tag{1.3}
\]
平方之和
\[\boxed{\sin^2x+\cos^2x=1}\tag{1.4}
\]
\[\boxed{1+\tan^2x=\sec^2x}\tag{1.5}
\]
\[\boxed{\cot^2x+1=\csc^2x}\tag{1.6}
\]
Tips：由（1.4）式立刻可以得到
\[(\sin x\pm\cos x)^2=1+2\sin x\cos x
\]
这个公式可以用来升幂或者降幂。
比值关系
\[\boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}\tag{1.7}
\]
\[\boxed{\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}}\tag{1.8}
\]
\[\boxed{\sec x=\frac{1}{\cos x}}\tag{1.9}
\]
\[\boxed{\csc x=\frac{1}{\sin x}}\tag{1.10}
\]
（1.1）~（1.10）式可由定义直接得到。
诱导公式
这里就只列出 \(\sin x, \cos x, \tan x\) 的诱导公式啦
\(2k\pi+x\) 型（周期性）
\[\boxed{\sin{(2k\pi+x)}=\sin{x}} \tag{1.11}
\]
\[\boxed{\cos{(2k\pi+x)}=\cos{x}} \tag{1.12}
\]
注意这里我没有写出 \(\tan\)，是因为 \(\tan\) 的最小正周期实际上是 \(\pi\)。
\(\pi+x\) 型（关于原点对称）
\[\boxed{\sin{(\pi+x)}=-\sin x}\tag{1.13}
\]
\[\boxed{\cos{(\pi+x)}=-\cos x}\tag{1.14}
\]
\[\boxed{\tan{(\pi+x)}=\tan x}\tag{1.15}
\]
\(\pi-x\) 型（关于 \(y\) 轴对称）
\[\boxed{\sin{(\pi-x)}=\sin x}\tag{1.16}
\]
\[\boxed{\cos{(\pi-x)}=-\cos x}\tag{1.17}
\]
\[\boxed{\tan{(\pi-x)}=-\tan x}\tag{1.18}
\]
\(-x\) 型（关于 \(x\) 轴对称）
\[\boxed{\sin{(-x)}=-\sin x}\tag{1.19}
\]
\[\boxed{\cos{(-x)}=\cos x}\tag{1.20}
\]
\[\boxed{\tan{(-x)}=-\tan x}\tag{1.21}
\]
\(\displaystyle\frac{\pi}{2}+x\) 型（三直角模型）
\[\boxed{\sin{(\frac{\pi}{2}+x)}=\cos x}\tag{1.22}
\]
\[\boxed{\cos{(\frac{\pi}{2}+x)}=-\sin x}\tag{1.23}
\]
\[\boxed{\tan{(\frac{\pi}{2}+x)}=-\frac{1}{\tan x}}\tag{1.24}
\]
\(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\) 型（关于直线 \(y=x\) 对称）
\[\boxed{\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}=\cos x}\tag{1.25}
\]
\[\boxed{\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=\sin x}\tag{1.26}
\]
\[\boxed{\tan{(\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{1}{\tan x}}\tag{1.27}
\]
\(\displaystyle\frac{3}{2}\pi+x\) 型（三直角模型）
\[\boxed{\sin{(\frac{3}{2}\pi+x)}=-\cos x}\tag{1.28}
\]
\[\boxed{\cos{(\frac{3}{2}\pi+x)}=\sin x}\tag{1.29}
\]
\[\boxed{\tan{(\frac{3}{2}\pi+x)}=-\frac{1}{\tan x}}\tag{1.30}
\]
\(\displaystyle\frac{3}{2}\pi-x\) 型（关于直线 \(y=-x\) 对称）
\[\boxed{\sin{(\frac{3}{2}\pi-x)}=-\cos x}\tag{1.31}
\]
\[\boxed{\cos{(\frac{3}{2}\pi-x)}=-\sin x}\tag{1.32}
\]
\[\boxed{\tan{(\frac{3}{2}\pi-x)}=\frac{1}{\tan x}}\tag{1.33}
\]
以上的（1.1）~（1.33）各式均可通过定义和几何意义验证（证明）。
三角恒等式
和角公式
\[\boxed{\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}\tag{1.34}
\]
\[\boxed{\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}\tag{1.35}
\]
\[\boxed{\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}\tag{1.36}
\]
\[\boxed{\cot(x+y)=\frac{\cot x+\cot y}{\cot x\cot y-1}}\tag{1.37}
\]
差角公式
\[\boxed{\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}\tag{1.38}
\]
\[\boxed{\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}\tag{1.39}
\]
\[\boxed{\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}\tag{1.40}
\]
\[\boxed{\cot(x-y)=\frac{\cot x-\cot y}{-\cot x\cot y-1}}\tag{1.41}
\]
合起来就是
\[\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y
\]
\[\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y
\]
\[\tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\tan y}
\]
\[\cot(x+y)=\frac{\cot x\pm\cot y}{\mp\cot x\cot y-1}
\]
注意 \(\pm\) 和 \(\mp\) 的区别：
\[a\pm b=x\pm y\Leftrightarrow
\begin{cases}
a+b=x+y, \\
a-b=x-y
\end{cases}
\]
\[a\pm b=x\mp y\Leftrightarrow
\begin{cases}
a+b=x\textcolor{red}{-}y, \\
a-b=x\textcolor{red}{+}y
\end{cases}
\]
二倍角公式
\[\boxed{\sin 2x=2\sin x\cos x}\tag{1.42}
\]
\[\boxed{\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x}\tag{1.43-a}
\]
\[\boxed{\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}}\tag{1.44}
\]
\[\boxed{\cot 2x=\frac{2\cot x}{\cot^2 x-1}}\tag{1.45}
\]
由（1.42）式立刻得到
\[\sin x=\frac{\sin 2x}{2\cos x}\tag{1.46}
\]
\[\cos x=\frac{\sin 2x}{2\sin x}\tag{1.47}
\]
由（1.43-a）式和（1.4）式立刻得到
\[\boxed{\cos 2x=2\cos^2x-1}\tag{1.43-b}
\]
\[\boxed{\cos 2x=1-2\sin^2x}\tag{1.43-c}
\]
由（1.43-b）和（1.43-c）立刻可得
\[\boxed{\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}}\tag{1.48}
\]
\[\boxed{\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}}\tag{1.49}
\]
（1.46）（1.47）也可以用来升幂降幂。
三倍角公式
\[\boxed{\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x\tag{1.50}}
\]
\[\boxed{\cos 3x=-3\cos x+4\cos^3 x\tag{1.51}}
\]
\[\boxed{\tan 3x=\frac{3\tan x-\tan^3 x}{1-3\tan^2 x}=\tan x\tan (x+\frac{\pi}{3})\tan(x-\frac{\pi}{3})\tag{1.52}}
\]
\[\boxed{\cot 3x=\frac{3\cot x-\cot^3 x}{1-3\cot^2 x}\tag{1.53}}
\]
半角公式
\(\textcolor{red}{\text{按照实际情况添加正负号。}}\)
\[\boxed{\sin \frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}}\tag{1.54}
\]
\[\boxed{\cos \frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}}\tag{1.55}
\]
\[\boxed{\tan \frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}}\tag{1.56}
\]
将（）式上下同乘以 \(\pm\sqrt{1-\cos x}\)，利用（1.4）得
\[\boxed{\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1-\cos x}}\tag{}
\]
若上下同乘 \(\pm{\sqrt{1+\cos x}}\)，同理可得
\[\boxed{\tan \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}}\tag{}
\]
将（）式中 \(x\) 替换为 \(2x\)，两边平方得
\[\boxed{\tan 2x=\frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x}}\tag{}
\]
（可用来降幂）
从中解出
\[\boxed{\cos 2x=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}}\tag{}
\]
利用（1.53）式和（1.4）式，得
\[\boxed{\sin 2x=\frac{2\tan x}{\tan^2x+1}}\tag{}
\]
由（1.56）式，不难得到
\[\]
辅助角公式
设 \(a, b \in \mathbb{R}^+\)，
\[\boxed{a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+y)}\tag{}
\]
其中 \(\displaystyle y=\arctan\frac{b}{a}\)。
\[\boxed{a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x+y)}\tag{}
\]
其中 \(\displaystyle y=\arctan\frac{a}{b}\)。
积化和差
\[\boxed{\sin x\sin y=\textcolor{red}{-\frac{1}{2}}\left[\cos(x+y)-\cos(x-y)\right]}\tag{1.61}
\]
\[\boxed{\cos x\cos y=\frac{1}{2}\left[\cos(x+y)+\cos(x-y)\right]}\tag{1.62}
\]
\[\boxed{\sin x\cos y=\frac{1}{2}\left[\sin(x+y)+\sin(x-y)\right]}\tag{1.63}
\]
\[\boxed{\cos x\sin y=\frac{1}{2}\left[\sin(x+y)-\sin(x-y)\right]}\tag{1.64}
\]
和差化积
\[\boxed{\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}}\tag{1.65}
\]
\[\boxed{\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}}\tag{1.65}
\]
\[\boxed{\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}}\tag{1.65}
\]
\[\boxed{\cos x-\cos y=\textcolor{red}{-2}\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}}\tag{1.65}
\]