1:\(\mathrm{pv}(\frac{1}{x})\)
考虑函数\(\frac{1}{x}\),由于\(f(x)\)在0点处的奇异性导致它并不是\(\mathbb{R}\)上的局部可积函数,可以直接验证,它并不是\(\mathbb{R}\)上的一个分布,但是,如果考虑如下的算子:
定义:
对任意的\(\varphi(x) \in \mathscr{D}\),定义算子:
\[\mathrm{pv}(\frac{1}{x}):\varphi(x) \to \lim_{\varepsilon
\to 0}\int_{|x|>\varepsilon}\frac{1}{x}\cdot \varphi(x) \mathrm{d}x
\]
则该算子是一个分布.我们记后边的极限为
\[\operatorname{pv} \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \frac{d x}{x}
\]
有时会称这个分布为\(\frac{1}{x}\)的主值分布.
证明:
按照定义来证明.注意到:
\[\int_{x \mid \geq \varepsilon} \varphi(x) \frac{d x}{x}=\int_{1 \geq|x| \geq \varepsilon} \varphi(x) \frac{d x}{x}+\int_{|x|>1} \varphi(x) \frac{d x}{x}=I_1+I_2
\]
现在我们分别对两部分进行估值,首先由于\(\varphi\)具有紧支集,因此:
\[|I_2|\le \int_{|x|>1}\frac{1}{|x|}dx \cdot \sup_{x\in \mathbb{R}}|\varphi(x)|\le c_1 \sup_{x\in \mathbb{R}}|\varphi(x)|
\]
再对第一部分进行估值:
\[\begin{align*}
I_1&=\int_{\varepsilon}^1\frac{\varphi(x)}{x}dx +\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x}dx\\
&=(\varphi(-\varepsilon)-\varphi(\varepsilon))\ln \varepsilon-\int_{\varepsilon}^1(\varphi'(x)+\varphi'(-x)) \ln xdx\\
&\le -\frac{\varphi(-\varepsilon)-\varphi(\varepsilon)}{2\varepsilon} (2\varepsilon)\ln \varepsilon+c_2\sup_{x\in \mathbb{R}}|\varphi'(x)|\\
\end{align*}
\]
因此当\(\varepsilon\to 0\)时:
\[|I_1+I_2|\le c_1\sup_{x\in \mathbb{R}}|\varphi(x)|+c_2\sup_{x\in \mathbb{R}}|\varphi'(x)|
\]
满足分布的定义.
显然,该分布可以表示为:
\[\operatorname{pv} \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \frac{d x}{x} =\int_0^{\infty} \frac{\phi(x)-\phi(-x)}{x} \mathrm{~d} x
\]
在调和分析中我们经常会用到一个变换称为Hilbert变换,其定义为:
\[H(f)=\frac{1}{\pi} \operatorname{pv}\left(\frac{1}{x}\right) * f, \quad \text { for } f \in \mathcal{S}
\]
关于这个变换的性质我们暂时不会用到,感兴趣的读者可以参考一些傅里叶变换的书籍.
定理:
\[\mathrm{pv}\frac{1}{x}=\frac{d}{dx}(\ln |x|)
\]
后者的微分是指作为分布的微分.
证明:
根据微分的定义我们知道,对于任意的\(f\in \mathscr{D}\),都有:
\[\langle d \ln |x|,f\rangle=-\langle \ln |x|,f' \rangle=-\int_{\mathbb{R}}\ln |x| \cdot f' \mathrm{d}x
\]
由于后者的总是有意义的,因此:
\[\int_{\mathbb{R}}\ln |x| \cdot f' \mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|x|>\varepsilon}\ln |x| \cdot f'dx
\]
同样还是分为两部分:
\[\begin{align*}
\int_{|x|>\varepsilon}\ln |x| \cdot f'dx&=\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\ln (-x)f'dx+\int_{\varepsilon}^{\infty}\ln x f'dx\\
&=f(-\varepsilon)\ln(\varepsilon)-\int_{x<\varepsilon} \frac{f}{x}dx-f(\varepsilon)\ln \varepsilon -\int_{x>\varepsilon}\frac{f}{x}dx
\end{align*}
\]
因此当\(\varepsilon\to 0\)时,就有:
\[-\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|x|>\varepsilon}\ln |x| \cdot fdx=\mathrm{pv}\left(\frac{1}{x},f\right)
\]
故定理得证.
下边是简单的关于分布的收敛的练习:
证明:
\[\frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2} \rightarrow \delta \quad \text { in } \mathscr{D}^{\prime}(\mathbf{R}) \text { as } \epsilon \rightarrow 0+
\]
2:解析延拓获得的分布
上一节的例子给了我们一些启示,我们知道如果对任意的\(f(x)\in \mathscr{D}\),并且\(f(x)=0\),那么主值分布就等于\(\frac{1}{x}\)和\(f\)
做内积,可见主值 分布最大限度的保留了\(\frac{1}{x}\)作为古典函数的性质,即
\[(\ln |x|)'=\frac{1}{x},x\ne 0
\]
并且:
\[\mathrm{pv}\frac{1}{x}=\frac{d}{dx}(\ln |x|)
\]
那么我们不禁要问,对于任意的一个幂次函数,能够都定义这样类似的“分布”呢？
首先我们先给出记号:
\[x_+=\begin{cases}
x,x>0\\0,x\le 0
\end{cases}
\]
如果\(\lambda\in \mathbb{C}\),如果\(\mathrm{Re}\lambda>0\),那么映射\(x\to x_+^{\lambda-1}\)是局部可积的,因此如下的定义分布:
\begin{equation}
\left\langle x_{+}^{\lambda-1}, \phi\right\rangle=\int_0^{\infty} x^{\lambda-1} \phi(x) \mathrm{d} x, \quad \phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})
\end{equation}
特别的,我们如果考虑\(\lambda\)是实数,那么显然只有当\(\lambda>-1\)的时候,\(\int_0^1 x_+^a\mathrm{d}x\)才有意义.不难验证当\(a\le -1\),\(x_+^a\)不是一个分布,现在我们希望能够定义一个分布使得其限制在\((-\infty,0)\)和\((0,\infty)\)就和\(x_+^a\)一样.
当\(\lambda>0\)时,我们知道\(x_+^{\lambda}\)在\(\mathbb{C}^+=\{\lambda|\mathrm{Re}\lambda>0\}\)是解析的,可以求导并且其导数为:
\[\partial x_+^{\lambda}=\lambda x_+^{\lambda-1}
\]
当\(\mathrm{Re}\lambda>0\),有:
\[x_+^{\lambda-1}=\frac{1}{\lambda}\partial x_+^{\lambda}= \frac{1}{\lambda(\lambda+1)\cdots(\lambda+k-1)}\partial^kx_+^{\lambda+k-1}
\]
如果当\(\mathrm{Re}\lambda\le 0\)且不是整数,则我们总可以找到一个正整数\(k\)使得\(\mathrm{Re}\lambda+k>0\),此时我们就定义:
\[\begin{equation}
\langle x_+^{\lambda-1},\phi \rangle = \frac{(-1)^k}{\lambda(\lambda+1)\cdots(\lambda+k-1)}\int_0^{\infty}x^{\lambda+k-1}\partial^k\phi(x)\mathrm{d}x,\forall \phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})
\end{equation}
\]
如果\(\mathrm{Re}\lambda> 0\),那么我们利用分布积分公式就可以由上式所定义的分布和\(x_+^{\lambda-1}\)直接定义的分布是相同.
定义:
\[\begin{equation}
F_{\phi}(\lambda)=\langle x_+^{\lambda-1},\phi\rangle
\end{equation}
\]
可以看到\(F_{\phi}\)作为\(\lambda\)的函数在\(\mathbb{C}\setminus\{0,-1,\cdots,-k,\cdots\}\)是全纯的.并且\(0,-1,\cdots,-k,\cdots\)都是该函数的一阶奇点.我们可以计算出在\(F_{\phi}\)在\(\lambda=-k\)的留数:
\[\begin{aligned}
& \underset{\lambda=-k}{\operatorname{res}}\left\langle x_{+}^{\lambda-1}, \phi\right\rangle=\lim _{\lambda \rightarrow-k}(\lambda+k)\left\langle x_{+}^{\lambda-1}, \phi\right\rangle \\
& \quad=\frac{(-1)^{k+1}}{(-k)(-k+1) \ldots(-1)} \int_0^{\infty} \partial^{k+1} \phi(x) d x=\partial^k \phi(0) / k !,
\end{aligned}
\]
现在我们记\(\mathbb{C}-\{0,-1,-2,\cdots,-k,\cdots\}=\Omega\),记\(\Gamma(\lambda)\)为Gamma函数,考虑如下的分布:
\[E_\lambda=x_{+}^{\lambda-1} / \Gamma(\lambda), \quad \lambda \in \Omega ; \quad E_{-k}=\partial^k \delta, \quad k=0,1, \ldots
\]
我们知道\(\Gamma(\lambda)\)和\(x_+^{\lambda-1}\)有同样的的极点.因此我们就得到了一个在\(\mathbb{C}\)上都有意义的分布\(E(\lambda)\),并且:
\[\partial E_\lambda=E_{\lambda-1}, \quad \lambda \in \mathbb{C} .
\]
它和我们最初想法是一致的.