Sobolev空间三

mathzhou / 2023-08-10 / 原文

Sobolev空间

2.5 延拓

本节我们介绍延拓定理, 很多时候我们需要将一个函数延拓到更好的空间中, 或者更好的区域上. 曾经我们用过零延拓, 但是这样的延拓会丧失掉很多函数的性质, 例如如果 \(u\) 在 \(\Omega\) 上是弱可微的, 但是将其零延拓到 \(\mathbb{R}^{n}\) 末必是弱可微的. 我们希望这种延拓能够保持弱可微的性质, 且是一个有界线性的算子. 如果能够将其延拓到整个 \(\mathbb{R}^{n}\) 上, 那么就能够对该函数做Fourier变换!

类似逼近定理一样,我们先考虑平展边界上的延拓.

定理 19. 存在从 \(W^{k, p}\left(\mathbb{R}_{+}^{n}\right)\) 到 \(W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\) 的连续线性算子 \(E\) 使得

(1)对任何 \(u \in W^{k, p}\left(\mathbb{R}_{+}^{n}\right)\) 有: \(E u(x)=u(x), \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{n}\),

(2) 存在正常数 \(C=C(k, p)\) 使得

我们把 \(E\) 称为是关于区域 \(\mathbb{R}_{+}^{n}\) 的 \((k, p)\) 延拓算子.

\[\|E u\|_{W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C\|u\|_{W^{k, p}\left(\mathbb{R}_{+}^{n}\right)}, \quad \forall u \in W^{k, p}\left(\mathbb{R}_{+}^{n}\right) . \]

证明: 问题的关键在于如何定义 \(\left\{x_{n} \leq 0\right\}\) 的部分, 使得 \(u\) 在 \(\mathbb{R}^{n}\) 上有 \(\alpha\) 阶弱导数, 且使得 \(D^{\alpha} u \in L^{p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\).

我们之前在光滑逼近中已经证明了 \(C^{\infty}\left(\overline{\mathbb{R}_{+}^{n}}\right)\) 在 \(W^{k, p}\left(\mathbb{R}_{+}^{n}\right)\) 中是稠的, 因此我们可以考虑先在 \(C^{\infty}\left(\overline{\mathbb{R}_{+}^{n}}\right)\) 上定义延拓, 注意到这是 \(W^{k, p}\left(\mathbb{R}_{+}^{n}\right)\) 的一个稠密子空间, 因此我们利用Hahn-Banach定理就可以唯一保范延拓出去.

设 \(\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k+1}\right)\) 是以下线性方程组

\[\sum_{j=1}^{k+1}(-j)^{m} \lambda_{j}=1, \quad m=0,1, \cdots, k \]

的唯一解 (因为这是系数矩阵的行列式是一个范德蒙行列式), 我们对 \(u \in C^{\infty}\left(\overline{\mathbb{R}_{+}^{n}}\right)\), 定义:

\[E u(x)= \begin{cases}u(x), & x_{n} \geq 0 \\ \sum_{j=1}^{k+1} \lambda_{j} u\left(x^{\prime},-j x_{n}\right), & x_{n}<0\end{cases} \]

对于任意的 \(|\alpha| \leq k\), 我们都有:

\[D^{\alpha} E u(x)= \begin{cases}D^{\alpha} u(x), & x_{n} \geq 0, \\ \sum_{j=1}^{k+1}(-j)^{\alpha_{n}} \lambda_{j} D^{\alpha} u\left(x^{\prime},-j x_{n}\right), & x_{n}<0 .\end{cases} \]

首先我们要验证 \(E u\) 是一个 \(C^{m}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\) 上的连续函数. 这里我们只需要验证对 \(y \in\left\{y_{n}=0\right\}\) 上点, \(D^{\alpha} E u(x)\) 不管从上方逼近还是下方逼近都是一样的.

\[\begin{gathered} \lim _{x \rightarrow y, x \in\left\{x_{n} \geqslant 0\right\}} D^{\alpha} E u(x)=D^{\alpha} u(y) \\ \lim _{x \rightarrow y, x \in\left\{x_{n}<0\right\}} D^{\alpha} E u(x)=\lim _{x \rightarrow y, x \in\left\{x_{n}<0\right\}} \sum_{j=1}^{k+1}(-j)^{\alpha_{n}} \lambda_{j} D^{\alpha} u\left(x^{\prime},-j x_{n}\right)=D^{\alpha} u(y) \end{gathered} \]

下边我们验证他的任意阶导数都是 \(L^{p}\) 的且是有界算子，直接验证：

\[\begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left|D^{\alpha} E u(x)\right|^{p} d x & =\int_{\mathbb{R}_{+}^{n}}\left|D^{\alpha} u(x)\right|^{p} d x++\int_{\mathbb{R}_{-}^{n}}\left|\sum_{j=1}^{k+1}(-j)^{\alpha_{n}} \lambda_{j} D^{\alpha} u\left(x^{\prime},-j x_{n}\right)\right|^{p} d x \\ & \leq C(k, p, \alpha) \int_{\mathbb{R}_{+}^{n}}\left|D^{\alpha} u(x)\right|^{p} d x . \end{aligned} \]

对 \(|\alpha| \leq k\) 进行求和, 我们就可以得到:

\[\|E u\|_{W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C(k, p)\|u\|_{W^{k, p}\left(\mathbb{R}_{+}^{n}\right)}, \quad \forall u \in W^{k, p}\left(\mathbb{R}_{+}^{n}\right) \]

且 \(C\) 仅与 \(k, p\) 有关.

由于\(C^{\infty} (\overline{\mathbb{R}_+^n})\)在\(W^{k, p}(\mathbb{R}^n_+)\)中稠,因此可以利用连续线性泛函的延拓唯一的保范延拓出去.

现在考虑一般的具有 \(C^{m}\) 光滑程度的边界, 方法还是一样的, 先利用有限开覆盖定理,对每个局部的边界进行展平,得到延拓后再变换到原来的情况,利用单位分解定理完成证明.

定理 20. 设 \(U\) 为 \(C^{k}\) 类区域且 \(\partial U\) 有界, 则存在从 \(W^{k, p}(U)\) 到 \(W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\) 的 \((k, p)\) 延拓算子 \(E\) 满足:

(1) \(E u(x)=u(x), \quad \forall u \in W^{k, p}(U)\), a.e. \(x \in U\),

(2) \(E\) 是从 \(W^{k, p}(U)\) 到 \(W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\) 的连续线性算子, 即

并且存在正常数 \(C=C(U, k, p)\) 使得

\[E\left(\lambda_{1} u_{1}+\lambda_{2} u_{2}\right)=\lambda_{1} E u_{1}+\lambda_{2} E u_{2}, \quad \forall u_{1}, u_{2} \in W^{k, p}(U), \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R} \]

\[\|E u\|_{W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C\|u\|_{W^{k, p}(U)}, \quad u \in \forall W^{k, p}(U) \]

证明: 上边的延拓定理虽然告诉了我们这样的延拓是存在的, 但是没有具体告诉我们对于一般的 \(u \in W^{k, p}\), 其延拓怎么定义, 因此在这个定理的证明中, 我们选择一种更加清晰的证明.

(1): 由于 \(\partial U\) 是有界集, 因此利用开覆盖定理我们就可以得到存在有限个开球 \(\left\{O_{i}\right\}_{i=1}^{n}\) 覆盖 \(\partial U\), 类似的, 我们找到 \(O_{0} \subset \subset U\), 使得 \(U \subset \bigcup_{i=0}^{n} O_{i}\), 我们知道存在从属于这个开覆盖的单位分解(这里我们不再复述这个过程, 采用和逼近定理一样的记号.) 记

对 \(u_{0}\), 我们直接做零延拓即可.

\[u=\sum_{i=0}^{n} \alpha_{i} u=\sum_{i=0}^{n} u_{i} \]

\((2)\) : 对剩下的 \(u_{i}\), 首先我们将边界展平, 存在 \(C^{m}\) 函数 \(\phi_{i}: \partial U \cap O_{i} \rightarrow B_{1}^{+}(0)\), 并且 \(\operatorname{spt}\left(u\left(\phi^{-1}(y)\right)\right) \subset \subset B_{1}^{+}(0)\). 我们先对 \(u_{i}\) 在 \(\mathbb{R}_{+}^{n}\) 中做零延拓, 在做定理 19 中的 Whitney 延拓得到的函数记为 \(E u_{i}=\tilde{u}_{i}\). 因此我们可以得到:

\[\left\|\tilde{u}_{i}\right\|_{W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leqslant C\|u\|_{W^{k, p}\left(B_{1}^{+}(0)\right)} \]

再利用的等价范数我们就可以得到:

\[\begin{aligned} & \left\|E u_{i}\right\|_{W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C\left\|u_{i}\right\|_{W^{k, p}(U)}, \quad u \in \forall W^{k, p}(U) \end{aligned} \]

从而由线性性我们可以得到:

\[\begin{aligned} & \|E u\|_{W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leq C\|u\|_{W^{k, p}(U)}, \quad u \in \forall W^{k, p}(U) \end{aligned} \]

(3): 对于一般的 \(u \in W^{k, p}\), 我们采用光滑函数逼近定理. 由于 \(\partial \Omega \in C^{k}\), 故由 \(C^{k}(\bar{U})\) 逼近定理知存在函数列 \(u_{m}\) 满足 \(u_{m} \in C^{k}(\bar{U}),\left|u_{m}-u\right|_{k, p, \Omega} \rightarrow 0(k \rightarrow \infty)\). 对 \(u_{m} \in C^{k}(\bar{U})\), 可作 \(E u_{m}: C^{k}(\bar{U}) \mapsto W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\), 使得

\[E u_{m}=u_{m}, \quad x \in \bar{\Omega} \]

于是

\[\left\|E u_{m}-E u_{l}\right\|_{k, p, \mathbb{R}^{n}}=\left\|E\left(u_{m}-u_{l}\right)\right\|_{k, p, \mathbb{R}^{n}} \leqslant C\left\|u_{m}-u_{l}\right\|_{k, p, \Omega} \rightarrow 0, \quad m, l \rightarrow \infty . \]

由 \(W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\) 的完备性知存在 \(E u \in W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\)

满足定义 \(E: u \in W^{k, p}(\Omega) \mapsto v \in W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\), 而且 \(\left\|E u_{m}-E u\right\|_{k, p, \mathbb{R}^{n} \rightarrow 0}(m \rightarrow \infty)\). 特别地,

又 \(E u_{m}=u_{m}\) a.e. 于 \(\Omega\), 故

\[\left\|E u_{m}-E u\right\|_{k, p, \Omega} \rightarrow 0, \quad m \rightarrow \infty . \]

由极限的唯一性知 \(E u=u\) 在 \(\Omega\) 上几乎处处成立且

\[\|E u\|_{k, p, \mathbb{R}^{n}}=\lim _{m \rightarrow \infty}\left\|E u_{m}\right\|_{k, p, \mathbb{R}^{n}} \leqslant C \lim _{m \rightarrow \infty}\left\|u_{m}\right\|_{k, p, \Omega}=C\|u\|_{k, p, \Omega} . \]

故定理得证.

2.6 空间 \(W_{0}^{k, p}(U)\)

定义 21 .

\[W_{0}^{k, p}(U):=\left\{u \in W^{k, p}(U) \mid \text { 存在函数 } u_{k} \in C_{0}^{\infty}(U) \text { 在 } W^{k, p} \text { 中逼近 } u .\right\} \]

由定理 15 就可以知道, 当 \(U=\mathbb{R}^{n}\) 时, 我们有:

\[W_{0}^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right)=W^{k, p}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \]

但是我们要说明,当 \(U\) 是一般的集合时,该 \(j\) 结论末必成立.

命题 22. 当 \(U\) 为有界开集时, \(W_{0}^{k, p}(U) \varsubsetneqq W^{k, p}(U)\).

为此我们只需要找到一个函数 \(f \in W^{k, p}\), 但是其不能被光滑逼近即可, 为此我们需要如下的Poincare不等式:

引理 23. 设 \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^{\mathrm{n}}\) 中的有界开集, 那么对于任意的 \(u \in C_{0}^{1}(\Omega)\), 我们有:

\(C\) 仅依赖于区域 \(\Omega\).

\[\int_{\Omega}|\phi| \mathrm{d} \boldsymbol{x} \leqslant C \int_{\Omega_{i=1}}^{n}\left|\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}\right| \mathrm{d} \boldsymbol{x} \]

证明: 事实上, 因为 \(\Omega\) 有界, 不妨设 \(\sup _{x \in \Omega}\left|x_{i}\right|=K_{i}<+\infty\). 由 \(\partial_{x_{i}}\left(x_{i}|\phi|\right)=|\phi|+x_{i} \partial_{x_{i}}|\phi|\) 得

对 \(i\) 求和即可.

\[\int_{\Omega}|\phi| \mathrm{d} \boldsymbol{x} \leqslant K_{i} \int_{\Omega}\left|\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}\right| \mathrm{d} \boldsymbol{x}, \quad i=1,2, \cdots, n \]

现在回到原命题的证明:

现在我们取 \(f=1, \in \Omega\), 由于区域的有界性我们知道 \(f \in W^{k, p}\), 先证 \(f \notin W_{0}^{1,1}\). 对于任意的 \(\phi \in C_{0}^{\infty}\), 我们有:

\[\begin{aligned} \|f-\phi\|_{W^{1,1}} & =\int_{\Omega}|f-\phi| \mathrm{d} \boldsymbol{x}+\sum_{i=1}^{n} \int_{\Omega}\left|\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}\right| \mathrm{d} \boldsymbol{x} \\ & \geqslant \int_{\Omega} \mathrm{d} \boldsymbol{x}-\int_{\Omega}|\phi| \mathrm{d} \boldsymbol{x}+\sum_{i=1}^{n} \int_{\Omega}\left|\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}\right| \mathrm{d} \boldsymbol{x} \\ & \geqslant \operatorname{mes}(\Omega)-(C-1) \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{n}\left|\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}\right| \mathrm{d} \boldsymbol{x} \\ & \geqslant \operatorname{mes}(\Omega)-(C-1)\|f-\phi\|_{W^{1,1}(\Omega)} \end{aligned} \]

因此:

\[\|f-\phi\|_{W^{1,1}} \geq \frac{|\Omega|}{C} \]

故命题得证.

同时注意到, 当 \(U\) 为有界开集时, \(W^{1,1} \subset W^{k, p}, k \in \mathbb{N}^{+}, p \geqslant 1\).

问题 1. 有一个很自然的问题就是: \(W_{0}^{k, p}(U)\) 中的函数, 它能不能延拓到边界, 并且延拓之后他的边界和 0 有什么关系? 虽然不引入迹算子的定义我们也可以证明找到这个问题的答案,但是我们还是选择将该问题放入迹算子的应用中说明.