数列、归纳与递推
数列基础
设公差为 \(d\)，公比为 \(p\)，\(S_i\) 为数列前 \(i\) 项和
对于等差数列 \(a\)，\(a_n=a_1+(n-1)d=dn+a_1-d\)
等差数列 $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d $
对于等比数列 \(a\)
\[S_n=
\begin{array}{r}
\left\{
\begin{matrix}
\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\ \ (q\neq 1)\\
na_1 \ \ (q=1)
\end{matrix}\right.
\end{array}
\]
关于求和符号 \(\sum\) 的性质
(1) 重命名性质(任意更换下标字母不影响求和)
(2) 累加性质，即 $\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^m a_i + \sum_{i=m+1}^n a_i $
(3) 线性性质，即 \(\sum (a_i+b_i) = \sum a_i +\sum b_i\)，\(\sum ka_i = k\sum a_i\)
(4) 交换顺序性质，即 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij}=\sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n a_{ij} $，这条性质有时仅仅交换顺序就会极大降低难度
裂项
裂项的根本意义在于裂项后错位相减去掉大量内容化简公式
例如 $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} -\frac{1}{i+1}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} -\sum_{i=1}^n\frac{1}{i+1}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} -\sum_{i=2}^{n+1}\frac{1}{i} $，消去相同项可得
$\text{原式 }=1-\frac{1}{n+1} $
(此处可添加例题)