逻辑集合计数
逻辑
命题:指可以判断对错的叙述
真值:若命题为真则为真(\(1\))，否则为假(\(0\))
充分必要
\(p \Rightarrow q\) 指 \(p\) 推出 \(q\)，\(p\) 为 \(q\) 充分条件，\(q\) 为 \(p\) 必要条件(可以理解为判定和性质的区别)
\(p \Leftrightarrow q\) 即互为充要条件
原命题:若 \(p\) 则 \(q\)
逆命题:若 \(q\) 则 \(p\)
否命题:若 \(\neg p\) 则 \(\neg q\)
逆否命题:若 \(\neg q\) 则 \(\neg p\)
其中原命题和逆否命题真值相同，否命题和逆命题互为逆否命题
量词
全称量词和存在量词:
\(\forall\) 对于任意，全称量词
\(\exists\) 存在，存在量词
考虑这么一件事，就是说
设函数 \(f(x)\)
考虑两种情况
\(\forall x \in R,f(x)<k\)，\(k\) 的取值是
\(k>\max f(x)\)，因为 \(\forall\) 的任意性
\(\exists x \in R,f(x)<k\)
由于只是存在，我们只能得知 \(k>\min f(x)\)
集合
集合元素三个特征:确定性、互异性、无序性
通常用 \(\{\}\) 描述集合，用\(()\) 描述一个有序对
一个元素 \(a\) 属于 集合 \(A\) 记作 \(a \in A\),不属于记作 \(a \notin A\)
若两个集合 \(A\)，\(B\) 满足 \(\forall x \in A，x \in B\)，则称 \(A\) 被包含于 \(B\)，记作 \(A \subseteq B\)，\(A \supseteq B\) 反之同理
若同时满足 \(A \subseteq B\) 和 \(A \supseteq B\) ，则称 \(A=B\)
由于讨论问题时常常要限定范围，则规定全集为所有讨论范围内的集合组成的集合
集合间基本运算主要有 \(\cup\)并 \(\cap\)交 \(\setminus\)差 \(\complement_U\) 全集为 \(U\) 下的补集(以下默认全集为 \(U\))
\(A \cup B = \{x|x \in A 或 x \in B\}\)
\(A \cap B = \{x|x \in A 且 x \in B\}\)
\(\complement_U A = \{x|x \in U 且 x \notin A\}\)
\(A \setminus B = \{x|x \in A 且 x \notin B\} = A \cap \complement_U B\)
运算律:显然并交满足交换和结合律
同时满足 "分配律" 即
\(A \cup ( B \cap C ) = (A\cup B) \cap (A \cup C)\)，\(A \cap ( B \cup C ) = (A\cap B) \cup (A \cap C)\)
\(proof:\)
对于式一，\(\forall x \in A\cup (B\cap C)\)
若 \(x\in A\)则显然也属于右侧
若 \(x\in ( B \cap C )\)，则显然其同时属于 \((A\cup B)\) 和 \((A\cup C)\)
对于式二，\(\forall x \in A \cap ( B \cup C )\)，则其要么属于 \((A\cap B)\) 要么属于 \((A\cap C)\)，右式成立