矩阵乘法 笔记
众所周知，数是可以进行加减乘除的，那矩阵为啥不可以呢？
假设现在我们有两个矩阵 \(A\) 和 \(B\)，矩阵大小分别为 \(n \times m\) 和 \(x \times y\)，矩阵元素对 \(mod\) 取模。
基本运算
矩阵加法
令 \(A + B = C\)。
要求：\(n = x\) 并且 \(m = y\)。
其实很简单，就是一一对应着加就行，即对于 \(1\leqslant i \leqslant n, 1\leqslant j \leqslant m\)，\(C_{i, j} = A_{i, j} + B_{i, j}\)。
所以 \(C\) 的大小为 \(n \times m\)，矩阵减法同。
性质
- 交换律：明显满足，即 \(A + B = B + A\)。
- 结合律：明显满足，即 \(A + B + C = A + (B + C)\)。
单位矩阵
明显，就是一个大小为 \(n \times m\) 的全 \(0\) 矩阵。
矩阵乘法
令 \(A \times B = C\)。
要求：\(m = x\)。
公式：对于 \(1 \leqslant i \leqslant n, 1 \leqslant j \leqslant y\):
似乎看起来没啥用？因为它是在某些特定方面可以进行时间优化(例如用 \(O(8 \log n)\) 的时间复杂度求出斐波那契数列的第 \(n\) 项)，所以一般就是把它和其他知识点捆绑起来(例如矩阵乘法优化 dp 等)，单独拎出来出的题目很少(大多都是板子)。
性质
- 交换律：不满足！
- 若 \(n = y\)，交换以后还能乘法，但矩阵大小会变为 \(m \times x\)，与原矩乘后答案不同。
- 当然也有可能 \(n \neq y\)，这样交换以后连矩乘的基本要求都无法满足。
- 结合律：满足，设还有一个矩阵 \(C\)，大小为 \(y \times z\)，\(A \times B \times C = D\)，则 \(D\) 大小为 \(n \times z\)，而 \(A \times (B \times C) = A \times E(\texttt{大小为} x \times z) = D\)。
- 分配律：明显满足，设还有一个矩阵 \(C\)，大小为 \(y \times z\)，即 \(A \times (B + C) = A \times B + A \times C\)。
单位矩阵
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提到矩乘，就不得不提到它的单位矩阵，首先这个矩阵大小必须为 \(n \times n\)。
单位矩阵定义：若这个矩阵乘任意一个矩阵 \(C\)，得到的结果都等于 \(C\)，则这个矩阵为单位矩阵。
观察式子，容易推出：当矩阵除了主对角线
矩阵除法
令 \(\frac{A}{B} = C\)。
要求：同矩阵乘法。
由于浮点数不可以取模，数里面除法取模等于乘上除数的逆，所以矩阵除法同矩阵除法，不过是把 \(B_{i, j}\) 变成 \(B_{i, j}\) 在模 \(mod\) 意义下的逆。