麻将分析

行而上 / 2023-08-05 / 原文

\(\sect 1\) 牌效率理论

牌效率理论是麻将中最重要的理论之一。麻将游戏中大部分需要“决策”的内容就是“打出什么牌”这一问题，对这一问题的回答大多来自于牌效率理论。我们要以效率最高的方式达到和牌的目的。

在以下的分析中，我们只考虑最理想的情况：门前清立直。我们暂不讨论七对子、国士无双等特殊牌型的和牌方式，也不讨论“副露”情况下的和牌方法。同时，在计算场上剩余的牌时，我们也暂不考虑其它玩家已经打出了的牌，因为那样就把问题的分析变得非常得具体了。我们讨论相对抽象的理论，尽管对这种理论的应用在实际上会有偏差，但牌效率理论的内核与场上的具体分析本质上是相同的。对牌效率理论的研究对于分析场上具体的牌效率是非常有帮助的。

Thm（五组定理）决定以普通牌型和牌时，如果手上超过五组，则为了和牌一定需要在某个时刻拆掉至少一组。

Pf

由于每次只能打出一张牌，因此组数只能连续变化。根据介值性，如果手上超过五组，则为了达到五组的和牌牌型，则一定需要在某个时刻拆掉至少一组。

Rmk

对组数的判定是相对于希望的和牌牌型而言的。一般的单牌不会被单独算成一组，但如果是宝牌或者其它我们希望它称为面子的牌，就可以被算为一组。

有效牌

Def (向听数) 如果手上的牌最少再过\(x\)轮摸切就能够达到听牌，那么称此时手牌为“\(x\)向听”，\(x\)称为向听数。

Def (进张) 如果一张牌能够让手牌的向听数变小，那么称这张牌为“进张”

Def (改良牌) 如果一张牌不改变向听数但能增加进张数，那么称这张牌为“改良牌”

Def (有效牌) 进张和改良派统称“有效牌”

对牌效率的分析是基于“有效牌”的数量分析的。

搭子

Thm 两面>坎张>偏张。其中 > 表示“比…效率高”。

Pf

不考虑场上已经打出的牌的因素，两面进张数为8，坎张进张数为4，可见两面优于坎张。

偏张进张数也为4。但是坎张（比如3,5）进2或6可以“改良”成两面。而对于偏张（比如1,2），3本身是进张，没有改良牌。因此坎张优于偏张。

Thm 有雀头时，对子<偏张。

Pf

由于不再需要雀头，对子的进张数只有2（还有两张在自己手上），弱于偏张。

Thm 有雀头时，与两面间隔为1的牌弱于其它花色的单牌。

Pf

不失一般性，只需证346m的6m要弱于6s。由于此时已经有雀头，两者的进张都是2m,5m（8张）。其中，单牌6s进5s,7s可以改良形成两面。346m进7m也可以改良为两面，但进5m就无法起到改良的效果，因为已经形成了顺子。

复合型

Def (补强牌) 与搭子的其中一张相同的牌称为该搭子的补强牌。

Thm 补强牌能增加刻子的进张数，优于同样点数的其它花色的单牌。

Pf

不失一般性，以67的补强牌677为例，进张数由原本的8（5,8各4张）增加到10（增加了7的2张）。这张7比别的花色的单7相比更优，单7的效率在于进6、8形成两面，进7形成对子，进5,9形成坎张；单作为补强牌的7进5,8能直接形成顺子，进7形成刻子，进6形成两个两面，效率更高。坎张或偏张的证明同理。

Rmk

在没有雀头时，补强牌可以作雀头。而在有雀头的时候，雀头同样有2张刻子的进张。这样的进张称为“双碰进张”，它的进张数可以认为是4张而不是表面看上去的2张。

Def (两坎) 形如\(x,x+2,x+4\)的同花色牌型称为两坎，其中\(1 \leq x \leq 5\)。

Thm 两面>两坎>坎张

以3,5,7为例优于坎张，弱于两面。两坎进张数为8，因此优于坎张。两面的进张数同样为8，但两坎首先会多占一个位置，同时在听牌时必须打出一张变成坎张听牌（听牌数<=4，愚型），因此弱于两面。

Def (四连型) 形如\(x,x+1,x+2,x+3\)的同花色牌型称为四连形，其中\(2 \leq x \leq 5\)。

以4567为例。它可以看作两个两面搭子（因此\(x\)取1时不能称为四连形，它是偏张和两面）。4567的四连形进3,5,6,8（14张）都能形成顺子和两面。而其中，进3（或8）后能形成五连型34567，听2,5,8（11张）形成三面听牌。当手上无雀头时，4567四连形进4或7都能形成雀头，进张数为6，优于双碰（4张）的进张数。同时，根据需要，在适当的时刻也可以拆四连形4567的4或7变回顺子听牌。

Def (中膨型) 形如\(x,x+1,x+1,x+2\)的同花色牌型称为四连形，其中\(2 \leq x \leq 6\)。

以4556为例，它也可以看作两个两面搭子。进3,4,6,7（14张）形成顺子和两面。在适当的时刻可以拆5形成顺子听牌。它和四连形很相似，都是非常高效的牌型。（中膨形理论上也可以听雀头，但进张数只有2，甚至弱于单骑）

Def (罗斯型) 形如\(x,x,x,x+1\)（或\(x,x,x,x-1\)）的同花色牌型称为罗斯形，其中\(2 \leq x \leq 7\)（\(3 \leq x \leq 8\)）。

以4445为例。进3,6（8张）形成顺子和对子，进5（3张）形成刻子和对子。在没雀头的时候，我们需要形成对子，因此一般保留罗斯型。在有雀头时不需要对子（只能听刻子），一般拆罗斯型保留刻子。

Def (怪罗斯型) 形如\(x,x,x,x+2\)（或\(x,x,x,x-2\)）的同花色牌型称为罗斯形，其中\(1 \leq x \leq 7\)（\(3 \leq x \leq 9\)）。

以4446为例。它是罗斯形的变种，进5（4张）形成顺子和对子，进6（3张）形成刻子和对子。因此我们对待它的方式和普通罗斯形相同，依据有无雀头分类讨论。

Def (亚两面型) 形如\(x,x,x+1,x+2\)的同花色牌型称为亚两面形，其中\(1 \leq x \leq 6\)（\(3 \leq x \leq 9\)）。

以6678为例。亚两面形一般没有固定的处理方法，需要具体问题具体分析。它可以看作66的对子和78的两面，但由于6已经损了2张，因此78作为两面的效率其实有所降低，因此称为“亚”两面。

当多个复合型叠在一起时，我们往往有多种方式来理解这些牌，以至于难以看出效率最高的理解方式。例如，对于233457，我们往往倾向于将7看作浮牌，而事实上它可以被理解为一个顺子234和两坎357的叠加。同样的，134568我们容易拆掉1，8把它理解为四连形，事实上它可以被理解为两个两坎135、468的叠加。正是因为形如这样的牌型非常容易犯错，我们要把它刻进DNA里，所以我们通常称这种牌型为DNA型。

单牌效率与开局手顺

单牌效率比较

Thm 1,9 < 2,8 < 3~7。其中 < 表示“没有…效率高”

Pf

1只能进2形成偏张，而2可以进1形成偏张、进3形成两面、进4形成坎张，优于1；3进2、4形成两面，进1、5形成坎张，优于2；对称的，对于7,8,9也成立。3~7的单牌效率可以认为相等。

Thm（差三变弱定理）对于同花色的单牌\(x,x+3\)，\(x\)要弱于其它花色的\(x\)。

Pf
以25为例：如果进\(3\)那么23形成两面，此时再进4就会损害5的进张；如果进4那么再进3就会损害2的进张。

Rmk

差三变弱定理的本质是“有效牌重复”。例如，3467m这两个两面有重复的进张5，不如34m和67s这样两个完整的搭子。

单牌与弱搭子的价值比较

Thm 对于场上没有出现的过的单牌，14的1（69的9）< 客风牌 < 单牌19 < 非自风的场风牌 < 役牌 < 自风牌 < 单牌28 < 偏张（12，89）< 单牌3~7

根据差三变弱定理，14的1弱于单牌1，是最没有牌效率的。客风牌和单牌19效率相近。非自风的场风牌是大家共用的，价值较弱。役牌同样是大家共用的，弱于自风牌。偏张本身带有了单牌28，因此由于单牌28。早巡时认为偏张一般是弱于中张单牌的。

如果相应的单牌在场上已经出现一张，那么它在同类牌中应当被更优先打出。如果出现了超过一张，那么一般可以选择直接打出。

当一张牌有多种理解方式时，我们取价值最大的情况。例如245的2又可以看作单牌2又可以看作坎张24，因此我们可以先不把它看成单牌把它优于偏张打出。

这个定理通常被用来作为开局时打牌的顺序标准。但是这个顺序也不是严格的，通常我们需要结合场况具体问题具体分析。

听牌型

Def（好型听牌，愚型听牌）一般我们认为听牌数\(\geq 6\)张时是好型听牌，否则称为愚型听牌。

常见的好型听牌（在不考虑场况里的损张时）两面听牌（8张），五连型的三面听牌（11张），四连形听雀头（6张）。

常见的愚型听牌有坎张听牌（4张），偏张听牌（4张），双碰听牌（4张），单骑听牌（3张）。

Rmk

但是我们一般认为听字牌是好型，尤其是当字牌出现过损张时，因为别家一般倾向于认为字牌是安全牌。

Def（好型一向听）当一向听时手里还没有做完的搭子是两个两面时，称为好型一向听。

好型一向听的进张数为16（\(4 \times 4\)），进张后形成两面听牌。

Def（完全一向听）当一向听时手里还没有做完的搭子是一个两面和一个两面补强牌时，称为完全一向听。

完全一向听的进张数达到20（两面的进张数\(4 \times 4=16\)，补强牌形成刻子有2个进张，雀头形成刻子有2个进张），进张后形成两面听牌。

Thm 先打强搭子的补强牌。

Pf

例如一向听手牌[22m 678m 445p 133s 北北北]。此时需要分析打3s还是4p听牌。如果打4p，那么进张为3p（4张，愚型）、6p（4张，愚型）、2s（4张，好型）、3s（2张，好型）、2m（2张，好型）。如果打3s，那么进张数为3p（4张，愚型）、4p（2张，愚型）、6p（4张，愚型）、2s（4张，好型）、2m（2张，好型）。综上，两者进张数相同，但是打强搭子的补强牌有\(\dfrac{8}{16}\)的概率形成好型听牌，打弱搭子的补强牌只有\(\dfrac{6}{16}\)的概率形成好型听牌。因此先打强搭子的补强牌能形成更好的听牌型。

符数的计算

符数与点数

点数\(A\)的计算公式为：\(A=符数 \times 2^{番+2}\)。一副牌的底符为20，按以下方式增加：

雀头：役牌\(+2\)（双役牌\(+4\)）；
刻子：基础2符，幺九\(\times 2\)，暗刻\(\times 2\)，杠\(\times 2\)；
听牌型：坎张\(+2\)，偏张\(+2\)，单骑\(+2\)；
和牌：自摸\(+2\)，门清荣和\(+10\)；

符数向上取“整十”。庄家自摸，每人收\(2A\)；子家自摸，庄家给\(2A\)，其它给\(A\)。放铳时由放铳者全付。

上述对\(A\)的计算法则只对\(A\leq 2000\)时成立。否则称为“满贯”，取\(A=2000\)；番数\(\ge 6\)称为跳满，取\(A=3000\)；番数\(\geq 8\)称为倍满，取\(A=4000\)。番数\(\geq 11\)称为三倍满，取\(A=6000\)。番数\(\geq 13\)，称为累计役满，取\(A=8000\)。

门清时，除了和牌之外没有符的和牌称为“平和”。它等价于：四组顺子，雀头非役牌，最后是两面听牌。

\(\sect 2\) 防守理论

一发，1番。也就是说，别人立直以后第一轮一定要着重防守。吃碰杠会破坏一发。

必要性

雀魂是避四麻将。一位+100，二位+65，三位+0，四位-165。吃四代表一天白打甚至一周白打。

最后的位次非常关系。自摸平摊，放铳就需要帮别人支付，因此日麻鼓励防守。

如果从手上uniformly at random打一张，放铳概率大概为10%。

可行性

由于振听的存在，防守是可行的。振听规则是防守理论的基础。玩家进入振听状态后，只能自摸和牌。

舍张振听：听的牌中存在至少一张自己曾经打出过的牌，在听牌之后的瞬间进入舍张振听状态。一旦改听并且此时听的牌中不存在打出过的牌，就解除该状态。（经常出现代表打的有问题）

同巡振听：如果听牌时别人打出了我听的牌（如果是自摸打掉了显然就是舍张振听），我却因为某种原因无法和，或取消了和，则进入同巡振听。在下一次我打出牌之后就解除。

立直振听：立直之后要和的时候点取消，进入立直振听。无法解除。

现物防守

如果选择弃和（何时选择弃和是个复杂的问题，之后再讨论），就抛开牌效率理论，使用防守理论，开始防守。防守就是打出手上的牌，要优先选择安全度高的牌。

要防守的对象曾经打出过的牌是绝对安全的，因为如果他和这张牌就舍张振听。

上家刚打过的牌对于所有人都是绝对安全的，对于上家由于舍张振听不可能点，其它两家在上家打出时没有和，说明这张牌没点，如果点了却没和则同巡振听。

立直家立直后任意一家打过的牌都是绝对安全的，因为都没点，如果点了却没让他和则立直振听。

如果字牌在场上已经能看到三张（绝张），那么除非有人做国士无双，这张牌就是安全的。（国士无双是看得出来的，他打的全是中张牌）。如果场上已经能看到两张字牌，那么除非国士无双或单骑听这张，这张牌就是安全的，这样的概率是比较小的。

我们脑子里更新一个防守对象的安全牌时间戳。这个时间戳在他非摸切的时候更新到此刻。这段时间内整个场上被打出过的牌基本是安全的，极小概率是他点错了，或者是他在欺负我（没有违反振听规则）。更新之后原来安全的牌变得不安全了，因为没有理论能支持它的安全，和一般的不安全牌等同。

以上都是打出现过的牌，称为“现物防守”，它们是绝对安全。我们在弃和防守的时候尽量只打绝对安全的牌。它们的证明用到了振听规则。

筋牌防守

筋牌并不是绝对安全的，统计数据显示其安全概率大概为95%。现在我们只讨论对立直家的防守。

Def. 如果现物在4~6之间，那么现物的数值\(\pm3\)称为其对应的筋牌。

假如立直以后场上（包括自己）打出过5，那么防守时打8是安全的，因为手上的67会振听（如果是自己打的就是舍张振听，别人打的就是立直振听）。同时，立直家从1巡开始打出的牌的筋牌也是安全的，因为舍张振听。因此8点别人只有可能是坎张79，双碰或单骑。可见这种防守对两面听牌是有效的，两面的听牌型是常见的（统计数据显示为48%），点愚形听牌的概率是小的。

1，9的筋牌（筋19）不点坎张，统计显示放铳慨率1.8%。筋28放铳概率3.9%。筋37放铳概率5.5%。无筋牌概率约13%。（平均而言）。

Def. 如果现物不在4~6之间，那么它+3或-3只有其中一者存在，称为半筋。比如2的半筋牌5，它虽然不会铳34，但会铳67，它更不安全。它的放铳率为7.4%，和无筋19相同（也是7.4%）。

Def. 如果一张牌同时作为两张牌的半筋，称为两筋。比如他打过1,7，那么打4不会铳所有的两面，他的铳率与正常筋牌相同1.8%。

筋牌没那么安全，非必要不打筋牌。

立直时打出的牌（立直宣言牌）的筋牌称为立直筋。由于两坎是好型，所以大多数时候会等到立直在拆其中一坎，此时听的牌刚好是立直宣言牌的筋牌。因此立直筋牌是比一般筋牌更不安全的。

壁理论

Def. 如果“能看见”四个一样的牌，那么称为壁。

Def. 薄壁：四改成三

壁的作用范围是\(\pm 2\)。Pf：只防守顺子，例如9m拥有一个8m或7m的壁的时候只会输刻字和单骑，一个5m有一个3m或4m的壁，依然会输6m 7m等等的牌型。总之，壁作用范围内的牌安全度升高。只要一边有贴着的壁，那么就不输坎张。

薄壁，One Chance （OC），防守对象恰好拿着最后一张没现的牌。随着游戏往后发展，OC在牌山里的概率降低，在防守对象上的概率增加，安全度降低。

筋组理论

筋组：\((1p \ 4p)(4p \ 7p)(2p \ 5p)(5p \ 8p)\)，共18组。筋组理论只对两面听牌有效。任何一个两面对应着某个筋组。

我们可以定量计算\(\Pr(某张牌的放铳概率 \mid 防守对象为两面听牌)\)。我们枚举所有筋组，排除掉现物导致的振听情况，可以算出放铳的概率。根据壁的存在，我们还可以排除以下不可能出现的两面。如果是薄壁，我们可以给该两面加上一个权值（1/4）。当然，实战不可能一直算概率。这是理解筋牌的更严谨的方式。比如，半筋的安全性与无筋的19牌相同，都只输一组筋。

Rmk

早外：立直家早巡打出牌的外侧牌可能是安全的，一般情况早期不会过早拆补强牌，而是打出浮牌。因此我们认为其外排不太容易点。

红5：防守对象主动打出红5，说明他没有普通5，5相当于一个壁。Cor. 红5过37：因为不输两面。

3 立直判断

立直不需要理由，不立直需要理由。

3.1 立直的本质

1000点立直棒。如果1000点立直棒会影响到排位，那么一般不立直。

立直是一种役。

至少多1番，能翻里宝牌(20%,30%)，有一发机会(20%)，平均来讲50%。

立直宣言，公开了听牌信息。一般来说降低荣和概率，提高自摸概率。总体来说和率降低了。

只能摸切，无法改良，无法防守。

先制听牌

庄家、子家

立直前手牌的番数

有没有役

听好型还是愚型。

结论

庄家一般无脑立直（除非有役且很大）。庄家应当尽快和牌：被炸庄损失很大；庄家本身和牌点数大；可以连庄。

非庄家：

好型听牌，如果无役就立直；如果役在满贯及以上，那么由于立直会降低和牌概率，所以可以考虑不立直，在跳满及以上一般不立（即使是庄家）。

愚型听牌：如果无役——如果一个宝牌都没有，不立直；一个宝牌，分界线，两可；多于一个宝牌，立直。如果有役，那么为了提高和牌概率，那么满贯肯定不立直，5200点以上考虑不立直。小于5200参考无役的选择，但此时不立直可以等改良。愚型听牌一般不会因为等改良而选择不立直，不立直一般是处于提高和牌概率或者小牌和的意义不打不如防守。

平和朵拉一，不立是傻逼。

不立的情况：愚型无宝牌无役，或者牌很大。

追立

4 副露

优点：提速

缺点：降低分数，降低防守能力，暴露信息

大原则：不确定该不该副露的时候，不副露不需要理由。一般的副露率一般30~35%

庄家想和牌，更倾向于副露；牌很大，宝牌一大堆，混一色……；

前期一般不太吃好型，好型可以自摸。牌型越散进张越多，越可以等自摸。Rmk：逆否命题，别人吃好型意味着别人牌快好了

碰个白和1000点，立直了也就2000点，还可以阻止别人和大牌，可以副露。

常见副露的役

役牌：大多数时候都会碰。但是，比如役牌当雀头时，碰了会增加向听数，所以不碰。早巡不确定，都可以；小而快的牌或太慢的牌可能不碰，小而快的牌应当争取立直提高打点，太慢的牌碰了不一定能够和，还不能防守。

役牌后付：后付指副露时役还不确定。后付一般都是役牌后付。想提速（牌大、庄）时可以选择后付，但有风险无役和不了牌。

Rmk：当别人有奇怪的副露时，小心打役牌（要么让他有役了，要么就点了）

断幺九

混一色：只有字牌和同一花色的牌。门前清记3番，否则2番。3个或许可以考虑，4个同色搭子（包括字牌）尽量做混一色。它的主要优势是增加番数，如果有多个宝牌混一色也就不是必须的。

对对和

一气通贯、三色同顺（副露一番）

混全、纯全

副露的牌效率理论

不能使向听数前进的副露是不好的。

副露的牌效率理论和立直牌效率有一定的区别。与立直牌效率相比，搭子的效率\(\times 2\)（吃上家），对子的效率\(\times 4\)（所有家都可以碰）。所以，比如在副露过程中偏张本来是4现在变成8，相当于立直过程的两面。副露的两面相当于立直的好型一向听的进张数。副露的好型一向听就上天了。副露的对子进张数也是8，也相当于立直的两面。

其它与立直相似。

役牌：灵活。最难防守的副露。

断幺九：23和78变成偏张。

混一色，清一色

对对和：有役牌，或牌大又难以提速。中张对子很难碰，有役牌相当于有退路。牌大那是在赌博。

一气通贯、三色同顺：副露会减番，我们心目中不希望去为了它们而副露。所以一般是牌大或者做出这两个役的搭子是愚型。

混全、纯全：半国不国的极端情况