AtCoder Beginner Contest 044 C (背包DP、思维、*1583)

LDUyanhy / 2023-09-11 / 原文

C - Tak and Cards

题意：给定 $ N $ 个正整数 $ x_1, x_2, \cdot\cdot\cdot, x_n $ 和一个正整数 $ A $, 问从中选择 $ k $ 个数 $(k > 0)$, 满足：这 $ k $ 个数的平均值是 $ A $ 的方案总数是多少 $ (1 \le N, x_i, A \le 50) $ ?

思路：从 $ N $ 个元素中选择 $ k $ 个元素, 并且使得它们的平均值是 $ A $，即：从 $ N $ 个元素中选择 $ k $ 个元素, 使得它们的和为 $ k \times A $
考虑 背包DP, $ f_{i, j, k} $ 表示从前 $ i $ 个元素中选择 $ j $ 个元素, 并且它们的和等于 $ k $ 的方案数。
有： $ f_{i, j, k} = f_{i - 1, j, k} + f_{i - 1, j - 1, k - x_i} $。时间复杂度和空间复杂度均为 $ O(N^2 \times 2500) $。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>

int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);
	int n, a;
	std::cin >> n >> a;
	std::vector<int> x(n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		std::cin >> x[i];
	}
	long long dp[n + 1][n + 1][2510];
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	dp[0][0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= i; j++) {
			for (int k = 0; k < 2510; k++) {
				dp[i][j][k] += dp[i - 1][j][k];
				if (k - x[i] >= 0 && j >= 1) {
					dp[i][j][k] += dp[i - 1][j - 1][k - x[i]];
				}
			}
		}
	}
	long long res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		res += dp[n][i][i * a];
	}
	std::cout << res << "\n";
	return 0;
}

接下来考虑空间优化 (滚动数组)：